اعداد کامل

تالیف: اصغر ناصری 

ریاضیات علمی است پر از شگفتی. یونانیان باستان معتقد به وجود خواص جادویی و رموز نهفته در برخی اعداد و دنباله‌های عددی بودند. آنچه آنان با به این فکر انداخته بود، نظم و پیوستگی حیرت ‌انگیزی است که در جای جای ریاضیات به چشم می خورد. در این مقاله با اعداد کامل  آشنا می‌شویم. 

یک عدد کامل (perfect number) عددی است که با مجموع مقسوم علیه‌های خود (به غیر از خود عدد) برابر می باشد. کوچکترین عدد کامل عبارت است از ٦، زیر داریم: 

6 = 1 + 2 + 3

اعداد کامل بعدی عبارتند از:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 

اولین بار اقلیدس در کتاب خود به نام اصول به این اعداد اشاره کرده است. اقلیدس این قضیه جالب را نیز در مورد اعداد کامل بیان کرده است: 

اگر برای K>1 عدد 2^k-1 اول باشد، آنگاه 2^k-1(2^k-1) یک عد کامل است. 

به عنوان مثال 2³-1=7 یک عدد اول است، بنابراین 2^3-1(2³-1)=4*7=28 باید یک عد کامل باشد که صحیح است. 

همچنین 2⁵-1=32-1=31 نیز یک عدد اول است. بنابراین 2^5-1(2⁵-1)=16*31=496 نیز باید عددی کامل باشد که باز هم صحیح است. 

 چند عدد کامل بعدی عبارتند از: 

33550336 

8589869056 

137438691328 

2305843008139952128 

چند خاصیت جالب دیگر اعداد کامل 

رابطه بین اعداد کامل و اعداد مثلثی - تمام اعداد کامل بزرگتر از 6 شکل زیر را دارند: 

که T_n یک عدد مثلثی به شکل زیر است: 

 

اعداد مثلثی اعدادی هستند که می توان آنها را به شکل آرایه‌های مثلثی نشان داد. شکل زیر دنباله اعداد مثلثی را نشان می دهد: 

 

به عنوان مثال 28 یک عدد کامل است که می توان آن را به شکل 3*9 + 1 = 28 نوشت. همانطور که می بینید 3 یک عدد مثلثی است. به همین ترتیب 55*9 + 1 = 496 یک عدد کامل است و 55 نیز یک عدد مثلثی به ازای n = 10 است. 

رابطه بین اعداد کامل و اعداد اول مرسین -  به مجموع های زیر دقت کنید: 

که 6 ، 7 ، 31 ، ... اعداد اول مرسین هستند. اعداد اول مرسین، اعداد اولی به شکل زیر هستند:   

  

که n از دنباله اعداد زیر انتخاب می شود: 

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, ...  

مجموع معکوس های مقسوم علیه های هر عدد کامل (خود عدد را نیز به حساب آورید) برابر 2 می شود. مانند: 

 

آیا هیچ عدد کامل فردی وجود دارد؟ 

تاکنون تمامی اعداد کامل شناخته شده زوج بوده اند و هیچ عدد فرد کاملی شناخته نشده است. این بررسی تا عدد 10 به توان 300 که عدد بسیار بزرگی است انجام شده است. لیکن دلیلی برای اثبات اینکه عدد فرد کامل وجود ندارد نیز بدست نیامده است. در وب سایت http://www.oddperfect.org پروژه ای در دست انجام است که هدف آن یافتن یک عدد فرد کامل می باشد. 

برای مطالعه بیشتر درباره این اعداد شگفت انگیز،‌ به منابع زیر مراجعه کنید:  

Perfect Number,  http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html

Perfect numbers,  

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Perfect_numbers.html