آخرین قضیه فرما

پیر فرما (تولد 1601) بنیان گذار نظریه نوین اعداد محسوب می شود. سالهایی از دهه 1630 زندگی او وقف تصحیح کتاب آریثماتیکا اثر کلاسیک دیوفانتوس شده بود. او در حاشیه این کتاب مطلبی یادداشت کرد که به مدت چهارصدسال ریاضی دانان پس از خود را به تکاپو واداشت. 

این مطلب پیرامون قضیه ای بود که اکنون به عنوان آخرین قضیه فرما شناخته می شود. مطابق این قضیه معادله دیوفانتین یعنی   برای n > 2 در مجموعه اعداد صحیح جواب ندارد. به عنوان مثال هیچ سه عدد صحیح مخالف صفر را نمی‌توان یافت که معادله x³ + y³ = z³ را برآورده سازد.  

توجه کنید که برای n=2 معادله به فرم x²+y² = z² در میآید که همان قضیه فیثاغورث است و می دانیم بیشمار سه تایی صحیح می‌توان پیدا کرد که در معادله فوق صدق کنند. 

فرما در حاشیه کتاب ادعا کرد که اثبات این قضیه را یافته است. لیکن از ذکر آن خودداری کرد. اکنون تقریبا مطمئنیم که ادعای فرما خیلی دقیق نبوده و احتمالا برای n=3 و n=4 این قضیه را ثابت کرده، لیکن حل عمومی آن را نیافته است. 

در سال 1993 انفجاری در عالم ریاضیات اتفاق افتاد. اندرو وایلز با اثبات حالت نیمه پایدار حدس تانی یاما-شیمورا قضیه فرما را بطور پاره‌ای اثبات کرد. متاسفانه رخنه‌های متعددی در روش اثبات اندرو وایلز پدیدار شد. لیکن در سال 1994 وایلز و تایلور با همکاری هم مسئله را به یک فرمول شماره رده (Class Number Forula) فرو کاسته و اثبات نهایی آخرین قضیه فرما را ارائه کردند. 

اثبات قضیه فرما پایان یک دوران در ریاضیات بود. از آن جایی که ابزارهای مورد استفاده در حل این مسئله هنوز در زمان فرما ابداع نشده بودند، بنظر می رسد حل ادعایی فرما واقعیت نداشته باشد. 

در یکی از اپیزودهای کارتون معروف The Simpsons، معادله  در نقطه ای از پس زمینه تصویر دیده می شود. ممکن است بنظر برسد که این اعداد به ازای n=12 در قضیه فرما صدق می‌کنند، در حالی که حاصل دو طرف تنها در نه رقم اول با یکدیگر تطابق دارد. 

 

منابعی برای مطالعه بیشتر: 

http://math.ucsd.edu/programs/undergraduate/history_of_math_resource/history_papers/math_history_03.pdf 

http://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html 

حدس گولدباخ

به تساوی‌های زیر دقت کنید: 

4   = 2 + 2 

6   = 3 + 3 

8   = 3 + 5 

10 = 3 + 7 

12 = 5 + 7 

14 = 7 + 7 

16 = 5 + 11 

18 = 7 + 11 

20 = 7 + 13 

22 = 5 + 17 

24 = 7 + 17 

... 

به نظر می رسد هر عدد زوج بزرگتر از 2 را می‌توان بصورت مجموع دو عدد اول نوشت. آیا این امر برای تمام اعداد زوج بزرگتر از 2 امکان پذیر است؟ اولین بار کریستین گولدباخ دانشمند نظریه اعداد (1690 تا 1764 میلادی) این نظریه را مطرح کرد. تلاش دانشمندان برای اثبات این مسئله هنوز به نتیجه نرسیده است!

دو قلوهای اول

دوقلوهای اول یا prime twines ، یک جفت عدد اول هستند که 2 واحد با یکدیگر تقاوت دارند. چند مثال از این جفت اعداد عبارتند از (3,5)، (11,13) و (1000000007,1000000009). بزرگترین دو قلوی اول شناخته شده عبارتند از: 

 

هرکدام از اعداد فوق 11713 رقم دارند. چه تعداد از این جفت اعداد اول وجود دارد؟ آیا تعداد این جفت اعداد اول محدود است یا نامحدود؟ هنوز کسی پاسخ این پرسش‌ها را نمی‌داند! 

منبع: 

http://www.math.utah.edu/~pa/math/conjectures.html

اعداد دوستدار هم یا متحابه

 تالیف: اصغر ناصری 

یک جقت اعداد دوستدار هم، دو عدد صحیح هستند که مجموع مقسوم علیه های سره یکی (مقسوم علیه های عدد غیر از خودش) با عدد دیگر برابر شود. کوچکترین جفت شناخته شده از این اعداد عبارتند از 220 و 284.  

مجموع مقسوم علیه های عدد 220 عبارتند از: 

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 

 و مجموع مقسوم علیه های 284 عبارتند از:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 

نه جفت از اولین اعداد دوستدار هم عبارتند از: 

220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924) (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084) 

تاکنون حدود 5001 جفت از این اعداد شناخته شده و این بررسی تا عددی به بزرگی  انجام شده است. یک جفت بزرگ از این اعداد عبارتند از: 

(2068113162038, 2101813493962) 

بزرگترین جفت عدد دوستدار شناخته شده هرکدام 24073 رقم دارند و در سال 2005 توسط جابلینگ کشف شده اند. این اعداد با معادلات زیر معرفی می شوند: 

 

دو عدد کامل فوق بصورت زیر با استفاده از پارامترهای بالا بدست می آیند: 

 

برای مطالعه بیشتر به منبع زیر مراجعه کنید: 

http://mathworld.wolfram.com/AmicablePair.html 

اعداد کامل

تالیف: اصغر ناصری 

ریاضیات علمی است پر از شگفتی. یونانیان باستان معتقد به وجود خواص جادویی و رموز نهفته در برخی اعداد و دنباله‌های عددی بودند. آنچه آنان با به این فکر انداخته بود، نظم و پیوستگی حیرت ‌انگیزی است که در جای جای ریاضیات به چشم می خورد. در این مقاله با اعداد کامل  آشنا می‌شویم. 

یک عدد کامل (perfect number) عددی است که با مجموع مقسوم علیه‌های خود (به غیر از خود عدد) برابر می باشد. کوچکترین عدد کامل عبارت است از ٦، زیر داریم: 

6 = 1 + 2 + 3

اعداد کامل بعدی عبارتند از:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 

اولین بار اقلیدس در کتاب خود به نام اصول به این اعداد اشاره کرده است. اقلیدس این قضیه جالب را نیز در مورد اعداد کامل بیان کرده است: 

اگر برای K>1 عدد 2^k-1 اول باشد، آنگاه 2^k-1(2^k-1) یک عد کامل است. 

به عنوان مثال 2³-1=7 یک عدد اول است، بنابراین 2^3-1(2³-1)=4*7=28 باید یک عد کامل باشد که صحیح است. 

همچنین 2⁵-1=32-1=31 نیز یک عدد اول است. بنابراین 2^5-1(2⁵-1)=16*31=496 نیز باید عددی کامل باشد که باز هم صحیح است. 

 چند عدد کامل بعدی عبارتند از: 

33550336 

8589869056 

137438691328 

2305843008139952128 

چند خاصیت جالب دیگر اعداد کامل 

رابطه بین اعداد کامل و اعداد مثلثی - تمام اعداد کامل بزرگتر از 6 شکل زیر را دارند: 

که T_n یک عدد مثلثی به شکل زیر است: 

 

اعداد مثلثی اعدادی هستند که می توان آنها را به شکل آرایه‌های مثلثی نشان داد. شکل زیر دنباله اعداد مثلثی را نشان می دهد: 

 

به عنوان مثال 28 یک عدد کامل است که می توان آن را به شکل 3*9 + 1 = 28 نوشت. همانطور که می بینید 3 یک عدد مثلثی است. به همین ترتیب 55*9 + 1 = 496 یک عدد کامل است و 55 نیز یک عدد مثلثی به ازای n = 10 است. 

رابطه بین اعداد کامل و اعداد اول مرسین -  به مجموع های زیر دقت کنید: 

که 6 ، 7 ، 31 ، ... اعداد اول مرسین هستند. اعداد اول مرسین، اعداد اولی به شکل زیر هستند:   

  

که n از دنباله اعداد زیر انتخاب می شود: 

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, ...  

مجموع معکوس های مقسوم علیه های هر عدد کامل (خود عدد را نیز به حساب آورید) برابر 2 می شود. مانند: 

 

آیا هیچ عدد کامل فردی وجود دارد؟ 

تاکنون تمامی اعداد کامل شناخته شده زوج بوده اند و هیچ عدد فرد کاملی شناخته نشده است. این بررسی تا عدد 10 به توان 300 که عدد بسیار بزرگی است انجام شده است. لیکن دلیلی برای اثبات اینکه عدد فرد کامل وجود ندارد نیز بدست نیامده است. در وب سایت http://www.oddperfect.org پروژه ای در دست انجام است که هدف آن یافتن یک عدد فرد کامل می باشد. 

برای مطالعه بیشتر درباره این اعداد شگفت انگیز،‌ به منابع زیر مراجعه کنید:  

Perfect Number,  http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html

Perfect numbers,  

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Perfect_numbers.html