مسایل حل شده از معادلات دیفرانسیل

معادلات دیفرانسیل یکی از دروس پایه بسیاری رشته‌های دانشگاهی محسوب می‌شود. یکی از اساسی ترین روشها در درک پدیده‌های جهان، مدلسازی از روی آنها است. این مدلها اغلب شکل یک معادله دیفرانسیل را دارند که با حل آن امکان درک بهتر آن پدیده میسر می‌شود. با این وجود، تنوع مسایل در این درس چالشی برای دانشجویان بشمار می‌رود. در این نوشتار سعی شده فهرستی از مسایل کلیدی معادلات دیفرانسیل طرح و بحث شود تا راهنمایی برای آمادگی دانشجویان جهت امتحان این درس باشد. در حل تشریحی هر مساله، ابتدا روش حل عمومی مطرح شده است. مسایل و نمادگذاری‌ها مطابق متن کتاب زیر انتخاب شده‌اند:

Differential Equations with Applications and Historical Notes, George F. Simmons, CRC Press, Third Edition 2017.

مرجع بسیار جامع دیگر، کتاب معادلات دیفرانسیل تالیف دکتر محمد نیکوکار است که مخزنی غنی از مسایل حل شده نیز بشمار می‌رود. روی لینک زیر کلیک کنید:

مسایل حل شده از معادلات دیفرانسیل (PDF)

https://s34.picofile.com/file/8486151026/ODE.pdf.html

لئونارد اویلر

بزرگترین ریاضیدان تمامی اعصار

لئونارد اویلر (1707 – 1783) برترین دانشمند سویسی و یکی از سه " اَ بَر ریاضیدان" تاریخ بوده است (دو تن دیگر عبارتند از گاوس و ریمان).

او را شاید بتوان پرکارترین نویسنده تمامی زمانها در هر زمینه‌ای دانست. از 1727 تا 1783 تالیفات او به شکل سیلابی سهمگین تمامی زمینه‌های علوم را درنوردید و بطور پیوسته ای بر دانش انسانی در هر شاخه ای از ریاضیات محض و کاربردی افزود. همچنین بسیاری زمینه های جدید در ریاضیات ابداع شخص اوست.

او سالانه بطور متوسط 800 صفحه اثر علمی به چاپ می‌رسانید و همواره بنظر می رسید چیزی ارزشمند برای گفتن دارد و هیچگاه ذهنش از تکاپو نمی ایستاد. انتشار آثار او در سال 1911 آغاز شد و هنوز برای آن پایانی متصور نیست. قرار بود این نسخه از آثار او شامل 887 عنوان در 72 مجلد باشد اما از آن زمان دست نوشته های ناشناخته جدیدی از او کشف شده و تخمین زده می شود 100 کتاب بزرگ برای تکمیل آثار او مورد نیاز باشد. اویلر آثار ریاضی خود را با آسانی و تسلط یک سخنران ماهر به تحریر در می‌آورد که در حال صحبت درباره موضوعی آشنا است. نوشته های او مدلی از روشنی و وضوح کامل هستند. او هیچگاه ایده های سرشار خود را خلاصه بیان نمی کرد. فیزیکدان فرانسوی آراگو درباره توانایی های محاسباتی او گفته است: او بدون تلاش آشکاری محاسبات خود را انجام می داد، به آسانی تنفس یک انسان یا پرواز عقاب در آسمان. او در 17 سال آخر عمر خود کاملا نابینا بود با این وجود به مدد حافظه باورنکردنی و تصور نیرومند خود و کمک اطرافیان توانست به نوشتن کتاب ها و مقالات علمی خود ادامه دهد و حتی بر حجم آثار خود افزود.

اویلر شهروند باسل و دانشجوی جان برنولی در دانشگاه این شهر بود اما بزودی بر استاد خود برتری یافت. زندگی کاری او به عنوان عضوی از آکادمی علوم در برلین و سنت پترزبورگ گذشت و بیشتر مقالات او در نشریات این موسسات انتشار یافت. او در فیزیولوژی، پزشکی، گیاهشناسی، جغرافیا و کل علوم فیزیکی شناخته شده زمان خود نیز سرآمد بود. زندگانی آرام و بدون حادثه‌ای را گذراند که ثمره آن خانواده‌ای با سیزده فرزند بود.

به حق گفته اند که تمامی متون درسی مقدماتی و پیشرفته حساب دیفرانسیل و انتگرال نسخه برداری از آثار اویلر بوده است. او هندسه مسطحه و هندسی تحلیلی اجسام صلب را به کمال رساند، رویکرد تحلیلی به مثلثات را ابداع کردو توابع مدرن لگاریتم و تابع نمایی را بسط داد. او نظریه جامعی برای لگاریتم اعداد منفی و موهومی ارائه کرد. اعداد e، پی و i توسط او متداول شدند و معادله معروفی که این سه عدد را به هم پیوند می دهد، یعنی زیباترین معادله دنیای ریاضیات را معرفی کرد:

بدون معادله معروف او یعنی  آنالیز پیشرفته وجود نداشت. نمادهای مثلثاتی sin x، cos x و استفاده از f(x) برای نشان دادن شکل عمومی تابع از دیگر ابداعات درخشان اوست.

او نخستین و بزرگترین استاد سریهای نامتناهی، حاصل ضربهای نامتناهی و کسرهای پیوسته بود. حتی جیمز برنولی بزرگ نتوانست مجموع سری نامتناهی زیر را بیابد:

این اویلر بود که ثابت کرد مجموع فوق برابر  است. او همچنین مجموع های دشوار زیر را اثبات نمود:

او نخستین کسی بود که کاربرد تبدیلات لاپلاس در حل معادلات دیفرانسیل را تشریح کرد. نظریه مدرن اعداد بیش از همه مدیون کارهای اویلر است.

اطلاع از اهمیت و نقش لویلر در ریاضیات مدرن خود نیاز به تخصص عالی در این زمینه دارد. علاقمندان برای مطالعه بیشتر می توانند به کتاب معادلات دیفرانسیل تالیف سیمونز مراجعه نمایند.