راه حل اویلر برای مساله بازل

بر کرانه روی راین، در شمال غربی کشور سوئیس شهری قرار گرفته است که با وجود کوچکی، زادگاه برخی از بزرگترین دانشمندان تاریخ بوده است.

این شهر که پایتخت فرهنگی سوئیس نام گرفته، زادن و بالیدن نام های سترگی همچون فرزندان خانواده برنولی را شاهد بوده است. دانشگاه بازل که در سال 1460 بنیان نهاده شده در سالهای ناآرام اروپا پذیرای افراد بزرگی چون اراسموس روتردامی، خانواده هولباین، فردریش نیچه، کارل یونگ و نیز هرمان هسه و کارل یاسپرس بوده است.

اما دانشمند عظیم الشانی که خاک این شهر را به قدوم خود متبرک ساخت لئونارد اویلر بزرگ بود که در سال 1734 مساله معروف بازل را حل کرد. حل این مساله افزون بر اینکه یکی از دستاوردهای بزرگ ریاضیات و نظریه اعداد بشمار می رود، نمونه ای از درخشش نبوغ و نوآوری انسانی است.

صورت مساله بازل بسیار ساده است. مجموع نامتناهی مربعات وارون های اعداد طبیعی چیست؟ ...

برای ادامه مطلب اینجا کلیک کنید.

https://mathmag.blogsky.com/1404/07/02/post-37/%d8%b1%d8%a7%d9%87-%d8%ad%d9%84-%d8%a7%d9%88%db%8c%d9%84%d8%b1-%d8%a8%d8%b1%d8%a7%db%8c-%d9%85%d8%b3%d8%a7%d9%84%d9%87-%d8%a8%d8%a7%d8%b2%d9%84

برنارد ریمان، آفریدگار هندسه نا اقلیدسی

برنارد ریمان را همراه با لئونارد اویلر و کارل فردریش گاوس، سه ابر ریاضیدان تمامی اعصار می دانند. این سه تن به تنهایی آفریننده دنیای نو بشمار آلمی روند، ابرمردانی که با نبوغ و پشتکار شگفت آور خود زیربنای پیشرفت علوم و فناوری در قرنهای آتی را پی ریختند.

ریمان در 17 سپتامبر 1826 در هانوفر آلمان بدنیا آمد. او اصول هندسه نوینی را پی ریخت که متفاوت از اصول دیرپا و مسلط هندسه اقلیدسی بود و تنها بر اساس این هندسه نوین بود که آلبرت اینشتاین در ابتدای قرن بیستم نظریه نسبیت خود را بنا نهاده و عالم فیزیک را متحول ساخت.  او سهمی متعالی در توسعه نظریه توابع، آنالیز مختلط و نظریه اعداد دارد.

ریمان در یک خانواده فقیر از پدری که کشیش لوتری بود بدنیا آمد و در تمامی زندگی خود فردی خجالتی و درون گرا بود. مایه خوشبختی بود که یک معلم مدرسه نبوغ و توانایی نادر او در ریاضیات را تشخیص داده و چند کتاب درباره ریاضیات پیشرفته از جمله نظریه اعداد آدرین ماری لژاندر (1830) را در اختیار او قرار داد. ریمان این کتاب دشوار را در عرض یک هفته خواند و بر آن تسلط کامل یافت. او در فاصله سالهای 1846 تا 1847 در دانشگاه گوتینگن  و 1849 تا 1851 در دانشگاه برلین به مطالعه ریاضیات پرداخت. تا سال 1859 او از طریق مشاغلی با درآمد کم روزگار می گذرانید و در عین حال مسیر خود به سمت تخصص دانشگاهی را طی می‌کرد تا اینکه در این سال به سمت استاد تمامی رسید و برای نخستین بار در طول زندگانی خود تا اندازه ای به امنیت مالی دست یافت. لیکن در 1862 مدتی کوتاه پس از ازدواجش با الیزه کخ، با ابتلا به سل بشدت بیمار شد. مسافرتهای متوالی او به ایتالیا در جهت کند کردن روند رشد بیماری موثر نبود و در نهایت او در 1866 دار فانی را وداع گفت.

بازدیدهای او از ایتالیا نقش مهمی در پیشرفت ریاضیات مدرن در آن سامان داشت. بیماری سخت باعث شد ریمان نتواند تمامی آثارش را به چاپ رساند و برخی از درخشان ترین کارهای او پس از مرگش منتشر شدند، بویژه اولین نسخه مجموعه آثار ریاضی او که توسط ریچارد ددکیند و هاینریش وبر ویراستاری شد.

 تاثیر ریمان بر ریاضیات در ابتدا بدرستی درک نشد. گوتینگن دانشگاه کوچکی بود و ریمان نیز سخنران توانایی بشمار نمی رفت. بدتر از همه اینکه بسیاری از بهترین دانشجویان او در سنین جواین مردند. درک و فهم مقالات اندک ا دشوار بود ولی آثار او بالاخره توجه برخی از بزرگترین ریاضیدانان آلمان بویژه دوست او ددکیند و رقیبش کارل وایراشتراوس را بخود جلب کرد. شیوه درخشان تفکر مفهومی او باعث حیرت ریاضیدانان معاصرش گردید و دانشمندانی چون فلیکس کلاین و دیوید هیلبرت به ارزش کارهای او پی بردند.

ریمان در سال 1854 با ارائه مفهوم هندسه نااقلیدسی بذر تحولی بزرگ در ریاضیات مدرن را بنا نهاد. او نشان داد که اجزای بنیادین هندسه، فضایی از نقاط (به نام مانیفولد) و روشی برای اندازه گیری فواصل در طول منحنی ها در فضا هستند. او نشان داد که فضا لازم نیست یک فضای سه بعدی معمولی اقلیدسی باشد و می تواند هر تعداد بعد دلخواه داشته باشد. در نهایت این مفهوم به پیدایش ایده فضا-زمان انجامید که زیربنای نظریه نسبیت عام اینشتاین بشمار می رود.

در هندسه نا اقلیدسی مجموع زوایای داخلی مثلث می تواند کمتر یا بیشتر از 180 درجه باشد.

در مکانیک کلاسیک نیوتنی، گرانش عبارت از جاذبه میان دو جرم است. در حالی که در مکانیک نسبیتی اینشتاین گرانش حاصل انحنای فضا-زمان در اثر جرم است. خمیدگی فضا-زمان در اثر جرم را می توان با قرار دادن یک گلوله فلزی سنگین بر وسط یک تشک پلاستیکی که از گوشه ها مهار شده تشبیه کرد. این خمیدگی باعث می شود اجرام کوچکتر مجبور به پیروی از این انحنا شوند، پدیده ای که به صورت گردش سیارات به دور ستاره پرجرم تر مرکزی خود را نشان می دهد.

مطابق نظریه نسبیت عام فضا-زمان چهاربعدی در مجاورت جرم انحنا می یابد و اجرام کوچکتر در حرکت را مجبور به حرکت در مسیری منحنی می نماید، اثری که از آن به عنوان گرانش تعبیر می شود.

بدین ترتیب ریمان با نبوغ بی نظیر خود زیربنای ابداع یکی از درخشان ترین نظریات فیزیک را پی ریخت. او در طول عمر کوتاه و پربار خود، آینده ریاضیات و فیزیک مدرن را ترسیم کرد. آینده ای که یک ابر دانشمند دیگر به تحقق آن کمک کرد: پرفسور مریم میرزاخانی...

پرفسور مریم میرزاخانی: نخستین ابر ریاضیدان قرن بیست و یکم. درک اهمیت کارهای او در ریاضیات مدرن نیاز به دانش بالایی از هندسه دیفرانسیل نا اقلیدسی دارد.

منبع: دایره المعارف بریتانیکا و سایر منابع اینترنتی معتبر.

مسایل حل شده از معادلات دیفرانسیل

معادلات دیفرانسیل یکی از دروس پایه بسیاری رشته‌های دانشگاهی محسوب می‌شود. یکی از اساسی ترین روشها در درک پدیده‌های جهان، مدلسازی از روی آنها است. این مدلها اغلب شکل یک معادله دیفرانسیل را دارند که با حل آن امکان درک بهتر آن پدیده میسر می‌شود. با این وجود، تنوع مسایل در این درس چالشی برای دانشجویان بشمار می‌رود. در این نوشتار سعی شده فهرستی از مسایل کلیدی معادلات دیفرانسیل طرح و بحث شود تا راهنمایی برای آمادگی دانشجویان جهت امتحان این درس باشد. در حل تشریحی هر مساله، ابتدا روش حل عمومی مطرح شده است. مسایل و نمادگذاری‌ها مطابق متن کتاب زیر انتخاب شده‌اند:

Differential Equations with Applications and Historical Notes, George F. Simmons, CRC Press, Third Edition 2017.

مرجع بسیار جامع دیگر، کتاب معادلات دیفرانسیل تالیف دکتر محمد نیکوکار است که مخزنی غنی از مسایل حل شده نیز بشمار می‌رود. روی لینک زیر کلیک کنید:

مسایل حل شده از معادلات دیفرانسیل (PDF)

https://s34.picofile.com/file/8486151026/ODE.pdf.html

کاربرد هوش مصنوعی در حل مسایل علمی با Deepseek

هوش مصنوعی Deepseek در ماههای اخیر کانون توجه کاربران بوده است. رایگان بودن و گستردگی امکانات، آن را رقیب جدی ChatGPT و نرم افزارهای مشابه ساخته است. در این ویدیو با کاربرد هوش مصنوعی Deepseek در حل مسایل دشوار ریاضی و کدنویسی آشنا می شویم. روی لینک زیر کلیک کنید:

https://youtu.be/5XTiadZ7PXo

نوآوری در حل تست های ریاضی

برای حل مسایل و تست های ریاضی هیچ راه حل و فرمول میانبر و جادویی عمومی وجود ندارد. تنها یک ذهن آماده و مسلح به دانش و تجربه که از طریق حل تمرین ها و مسایل مکرر بدست آمده می تواند خلاق و نوآورانه عمل کند. این ویدیو برخی نکات جالب در زمینه نوآوری در حل تست های ریاضی همراه با مثالهایی از کنکور سراسری 1403 در اختیار شما قرار می دهد. برای مشاهده این ویدیو در یوتیوب روی لینک زیر کلیک کنید:

نوآوری در حل تست های ریاضی

https://www.youtube.com/watch?v=5pTUEqjskkQ&t=256s