مساله نیکوماک

رشته اعداد فرد راکه از واحد شروع شده اند به گروههایی تقسیم کرده ایم بطوری که تعداد جملات در گروههای متوالی، رشته اعداد طبیعی را تشکیل دهند. ثابت کنید مجموع اعداد هر گروه برابر است با مکعب تعداد جملات آن.

حل (از اصغر ناصری):

منظور گروههای زیر از اعداد فرد هستند:

(1)  (3, 5)  (7, 9 11)  (13, 15, 17, 19)  …

ابتدا یک فرمول استقرایی برای اولین عدد هر گروه می سازیم. این فرمول می تواند بصورت زیر باشد:

a_n = n² – n + 1

برای مثال اولین عدد گروه چهارم برابر است با:

a₄ = 4² – 4 + 1 = 13

بنابراین عدد اول گروه m ام برابر است با:

a_m = m² – m + 1

گروه m ام یک تصاعد حسابی با جمله اول m² – m + 1 و تعداد جملات m و قدر نسبت 2 است. بنابراین مجموع جملات آن برابر است با:

S_m = (m / 2) [ 2 a₁ + (m - 1) d ] = (m / 2) [ 2 (m² – m + 1) + (m – 1) (2)] =  (m / 2) (2 m²) = m³

این مساله ریاضی جالب به عنوان مساله نیکوماک معروف است. متاسفانه نسخه ای از این مساله به عنوان یک تست در کنکور سراسری تجربی سال 1394 مطرح شده است که به نظر بنده مناسب طرح به عنوان تست چهارگزینه ای نیست.

هواپیماهای شگفت انگیز: اف-14 تامکت

تالیف: اصغر ناصری 

مقدمه 

مجموعه مقالات هواپیماهای شگفت انگیز به معرفی مهمترین هواپیماهای جنگی تاریخ نبردهای هوایی می پردازد که علاوه بر دستاوردهای تکنولوژیکی مهم نقش موثری در تغییر شرایط تاریخ جنگها داشته اند. از این مجموعه تاکنون مقالات زیر در این وبلاگ منتشر شده است: 

1. هواپیماهای شگفت انگیز: SR-71 پرنده سیاه 

2. هواپیماهای شگفت انگیز: P-51 Mustang 

3. هواپیماهای شگفت انگیز: بمب افکن استراتژیک B-36 

4. هواپیماهای شگفت انگیز: Hughes HK-1 Hercules یا غاز صنوبری 

5. هواپیماهای شگفت انگیز: بمب افکن بی 17  

6. هواپیماهای شگفت انگیز: میگ 15

7. هواپیماهای شگفت انگیز: بمب افکن بی 29

این مقالات با بهره گیری از منابع معتبر تالیف شده است. خواهشمند است در صورت استفاده منبع اصلی آن یعنی وبلاگ دنیای علم و تکنولوژی را ذکر فرمایید.  

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

هواپیماهای شگفت انگیز: اف-14 تامکت

اف 14 تامکت برای بیش از سه دهه جنگنده-رهگیر خط مقدم نیروی دریایی ایالات متحده بود. شرکت گرومن این جنگنده بال متغیر مافوق صوت را در سال 1974 برای دفاع از ناوگانهای دریایی ساخت اما در سالهای پایانی خدمت خود، این جنگنده بمباران دقیق اهداف زمینی را نیز می توانست انجام دهد. اف 14 در سال 2006 از خدمت نیروی دریایی ایالات متحده خارج شد لیکن هنوز به خدمت در نیروی هوایی ارتش جمهوری اسلامی ایران ادامه می دهد.

اف 14 نیروی هوایی ارتش جمهوری اسلامی ایران در حال شلیک موشک فونیکس

اف 14 هم به عنوان یک جنگنده برتری هوایی و هم یک رهگیر دورپرواز طراحی شده و بویژه برای مقابله با بمب افکنهای دورپرواز و موشک های کروز شوروی تطابق یافته بود. بالهای متغیر این هواپیما بطور خودکار در حین پرواز حرکت می کرد بطوری که برای حرکت با سرعت بالا به سمت عقب و برای پرواز با سرعت پایین بویژه در حین نشست و برخاست به سمت جلو می چرخید. در کابین خلبان وظایف ناوبری، ردیابی هدف، دفاع الکترونیک و آتش بسوی هدف بین خلبان و افسر رهگیری رادار تقسیم می شد. اف 14 همچنین دارای یک رادار بزرگ AWG-9  با مودهای جستجو و ردیابی متعدد بود که می توانست 24 هدف را بطور همزمان ردیابی کرده و بسوی شش تای آنها در فاصله 97 کیلومتری شلیک کند. در مدل F-14D رادار APG-71 استفاده شد که دارای قابلیت های بالاتری بود.

اف 14 ابتدا به موتور TF-30 ساخت پرات اند ویتنی مجهز بود. عملکرد این موتور با انتقادات فراوانی همراه بوده و بیش از 28 درصد حوادث پیش آمده برای این هواپیما به موتور آن نسبت داده شده است. در برخی ارتفاعات دود ناشی از شلیک موشک باعث واماندگی کمپرسور موتورها می گردید. نسبت نیروی پیشرانه به وزن هواپیما در حداکثر وزن بلند شدن 0.56 و بسیار کمتر از 0.85 برای مدلهای اولیه اف 15 بود. موتور جنرال الکتریک F-110 که در مدلهای بعدی مورد استفاده قرار گرفت بسیاری از این مشکلات را حل کرده یا بهبود بخشید.

سلاح برتر اف 14 موشک دوربرد فونیکس AIM-54 بود که شش تای آنها در زیر بدنه اف 14 مستقر می شد. موشک فونیکس دارای رادار فعال بود و خلبان می توانست پس از شلیک آن، منطقه نبرد را ترک کند. اف 14 می‌توانست موشک هدایت راداری نیمه فعال اسپارو و موشک حرارتی سایدویندر را نیز حمل کند. در سالهای آخر خدمت، این جنگنده به قابلیت پرتاب بمبهای لیزری و هدایت شونده نیز مجهز گردید.

در طول جنگ سرد از اف 14 برای رهگیری بمب افکن های روسی در قلمرو دریایی و هوایی کشورهای عضو ناتو استفاده می شد.

تنها خریدار خارجی اف 14 ارتش شاهنشاهی ایران بود که در دهه 1970 حدود 80 فروند از این جنگنده ها را دریافت کرد. اف 14 های ایرانی در جنگ عراق علیه ایران نقش موثری بازی کردند و رادارقدرتمند AWG-9 به همراه موشک فونیکس به آنها برتری هوایی قابل توجهی در برابر هواپیماهای عراقی بخشید. در ابتدای جنگ از این هواپیما به عنوان یک آواکس کوچک برای هدایت سایر هواپیماهای جنگی از قبیل فانتوم اف 4 و اف 5 استفاده می شد. لیکن با بالاگرفتن جنگ آنها بطور مستقیم در جنگ های هوایی درگیر شدند. فردی که پژوهش مفصلی درباره تامکت های ایرانی و نقش آنها در جنگ عراق علیه ایران انجام داده تام کوپر است که آمار نسبتا مستدلی در این باره نیز گردآوری نموده است. به عقیده تام کوپر در طی هشت سال جنگ، حدود 160 فروند هواپیمای عراقی توسط اف 14 های ایران سرنگون شدند که از آن جمله می توان 58 فروند میگ 23، 33 فروند میگ 21، 23 فروند سوخوی 20 و 22، نه میگ 25، پنج توپولف تی یو 22، دو میگ 27، یک هلی کوپتر میل ام آی 24 و چند هواپیمای دیگر را نام برد. مهارت بالای خلبانان ایرانی در این پیروزی ها بسیارموثر بود. تام کوپر معتقد است تنها سه اف 14 ایرانی توسط میراژهای اف یک عراقی سرنگون شدند و سایر ادعاهای عراقی ها در این رابطه را بی اساس می داند. عملیاتی نگه داشتن هواپیمای پیچیده ای مانند اف 14 بدون کمک خارجی کار دشواری بود که توسط متخصان ایرانی در طی جنگ بخوبی صورت پذیرفت.

نظریه های علمی زمین لرزه

گردآوری و ترجمه: اصغر ناصری

زمین لرزه ها مخربترین رویدادهای طبیعی بشمار می روند. در اغلب اوقات بدون هیچ هشدار پیشینی روی می دهند که آنها را به ترسناکترین و غیرقابل پیش بینی ترین پدیده طبیعی تبدیل می سازد.  بطور معمول هرسال دو زمین لرزه به قدرت 8 ریشتر در سطح جهان روی می دهد. ایران در ناحیه کمربند کوهستانی هیمالیا واقع شده که جوانترین ناحیه کوهستانی دنیا محسوب شده و در معرض تحولات مداوم است. گسترش کف دریای سرخ در نتیجه خروج مواد مذاب درون پوسته زمین، منجر به حرکت صفحه تکتونیکی عربستان بسوی ایران شده و حرکت سایر صفحات لیتوسفری پیرامون ایران را موجب می شود. در نتیجه این حرکات، لرزش های مخربی در داخل و پیرامون کشور ایران روی می‌دهد. تهران پایتخت کشور به عنوان پرجمعیت‌ترین شهر، بسیار خوش اقبال بوده است که در قرن اخیر زمین لرزه ای را تجربه نکرده است. آخرین زمین لرزه در سال 1830 در این شهر روی داده که شدت آن 7.2 ریشتر بوده است. 

نظریه‌های علمی زمین لرزه

برای توجیه دلایل بروز زمین لرزه دو نظریه عمده ارائه شده است:

·         نظریه انتشار اتساع[1] در ایالات متحده

·         نظریه ناپایداری اتساع[2] در شوروی سابق

اولین مرحله در هر دو مدل عبارت از افزایش کرنش کشسان در یک صخره است که آن را وارد حالت اتساع می کند. حالت اتساع به معنی افزایش غیرکشسان (برگشت ناپذیر) در حجم صخره است که پس از رسیدن تنش در صخره به نصف میزان استحکام شکست آن روی می‌دهد. در طی حالت اتساع، شکاف‌های باز در صخره‌ها پدیدار می‌شود. در این مرحله اولین تغییرات فیزیکی در صخره روی می‌دهد که نشانی از زمین لرزه‌های آتی است. در این مرحله دو مدل یاد شده واگرا می‌شوند. مدل تدوین شده در ایالات متحده چنین خاطرنشان می‌سازد که اتساع و شکاف خوردن صخره ها در اصل به کاهش آب موجود در صخره اتساع یافته مربوط می شود که امواج لرزه ای کند و رویدادهای لرزه ای کوچکی را موجب می‌گردد. سپس بواسطه جریان یافتن آب بدرون شکافهای باز، فشار آب در خلل و فرج صخره افزایش یافته و با تضعیف صخره، جابجایی قطعات آن در طول شکافها را موجب شده و زمین لرزه را پدید می آورد.

در طرف دیگر در مدل روسی چنین فرض می شود که در اولین مراحل رویداد زمین لرزه، ترکهای متعددی بروز کرده و بخشی از تنش آزاد می شود. لیکن در نتیجه این امر وضعیتی ناپایدار پدید آمده و در نهایت جابجایی های بزرگی در طول یک شکاف حاصل می گردد. شکافهای لرزه ای به عنوان نواحی در طول گسل های فعال تعریف می شوند که قادرند زمین لرزه بزرگی تولید کرده لیکن در سالهای اخیر چنین رویدادی در آنها رخ نداده است. چنین تصور می شود که در این نواحی کرنش های تکتونیکی ذخیره شده و در نتیجه مستعد تولید زمین لرزه های آینده هستند.  هر گسلی که در طول دوره زمین شناسی کواترنری جابجا شده به عنوان یک گسل فعال شناخته می شود. بنابراین گسل های غیرمتحرک در طول سه میلیون سال اخیر بطور کلی در رده گسل های غیرفعال قرار می گیرند. بنابراین گسل های فعال مسئول بروز زمین لرزه ها و شکاف خوردن سطح زمین هستند.

منبع:

Earthquake Management in Iran: A compilation of literature on earthquake Management, Iranian Studies Group at MIT, 2004

---

[1] . Dilatancy-diffusion

[2] . Dilatancy-instability

مربع جادویی

تالیف: اصغر ناصری 

مربع های جادویی

یکی از جالب ترین ساختارها در ریاضی، مربع های جادویی است. این مربع خاصیت ساده ای دارد: مجموع اعداد روی هر سطر یا هر ستون برابر عددی ثابت است. نمونه ای از این مربع های جادویی را در شکل زیر می بینید:

8	1	6
3	5	7
4	9	2

همانطور که می بینید مجموع اعداد هر سه سطر برابر 15 است:

15 = 8 + 1 + 6

15 = 3 + 5 + 7

15 = 4 + 9 + 2

 این خاصیت در مورد سه ستون نیز برقرار است. همین خاصیت را در مورد اعداد روی قطرهای اصلی و فرعی مشاهده خواهید کرد.

نکته جالب این است که مجموع اعداد روی هر سطر، ستون یا قطر سه برابر عدد وسط مربع جادویی (در اینجا 5) است. همچنین مجموع تمام اعداد مربع جادویی 9 برابر عدد وسط مربع است. مربع بالا با ارقام 1 تا 9 ساخته شده است و داریم:

 45 = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

اما شگفت آورترین خاصیت مربع جادویی این است که مجموع مربعات اعداد سه رقمی که توسط سطرها یا ستون ها ساخته می‌شود از دو سمت راست به چپ و چپ به راست با هم برابر است:

492² + 357² + 816² = 294² + 753² + 618²

موضوع برای تحقیق: یک مربع جادویی پیدا کنید که  تنها از اعداد اول ساخته شده باشد.

جنگنده رادار گریز F-22 Raptor

به کمک F-22 Raptor، نیروی هوایی آمریکا برتری بلامنازعی درنبردهای هوایی خواهد یافت. جنگنده تک سرنشینه ساخت شرکت لاکهیدمارتین، خصوصیاتی مانند رادارگریزی، سوپرکروز، چابکی فوق العاده و سنسورهای نیرومند پیرامونی را با هم ترکیب کرده تا ماشینی کشنده حاصل شود. این خصوصیات به علاوه قابلیت اعتماد بالا و نیاز به تعمیر و نگهداری کم جهشی عظیم در توانایی این جنگنده برتری هوایی نسبت به F-15 eagle ایجاد کرده است. در حقیقت انتظار نمی رود حتی در آینده نزدیک هیچ جنگنده ای قابلیت رقابت با این هواپیما را داشته باشد.

اف 22 با بالهای دلتا شکل خود از مواد مرکب سبک وزن بهره می برد. موتورهای توربوفن آن نیروی پیشرانه ای بالاتر ازهر موتور جت جنگنده دیگری ایجاد می کنند و با قابلیت چرخش نازل های خروجی یا thrust vectoring، یک هواپیمای ابرمانورپذیر ساخته اند که می تواند مانورهای محیرالعقول از خود به نمایش بگذارد. طراحی آیرودینامیک ویژه همراه با قدرت بالای موتورها قابلیت سوپرکروز به آن داده است یعنی پرواز با سرعت بالای صوت بدون اسفاده از پس سوزهایی که سوخت هواپیما را بلعیده و از برد آن می کاهند. بدین ترتیب هواپیما حرارت خروجی موتورهای خود را نیز به حداقل کاهش داده تا قابلیت شناسایی کمی در حسگرهای مادون قرمز هواپیمای دشمن داشته باشد. اف 22 بسیار رادارگریز است، یعنی اثر راداری اندکی در رادارها باقی می گذارد و تقریبا تنها به اندازه یک گلوله فولادی کوچک در رادارها ظاهر می ود. بنابراین ردیابی و هدف قرار دادن آن بسیار دشواراست. رادارگریزی باعث شده اف 22 بتواند در خصمانه ترین میدان های نبرد از خود محافظت کرده و در نبردهای هوایی قبل از مشاهده شدن توسط دشمن، هواپیمای متخاصم را از بین ببرد.

اف 22 رپتور هشت موشک هوا به هوا با خود حمل می کند: شش AIM-120  با رادارفعال و دو موشک AIM-9 با حسگر مادون قرمز. علاوه بر این قادر به حمل بمبهای هدایت شونده هوشمند است و می تواند آنها را از فاصله 10 کیلومتری برسر هدف زمینی متحرک یا ساکن پرتاب کند. رادار فازی فعال و قدرت پردازش فوق العاده دو ابرکامپیوتر آن امکان تهیه تصاویری دقیق از اهداف زمینی و ردیابی آنها را از ارتفاع بسیار بالا می دهد. اف 22 می تواند با حسگرهای قدرتمند خود نقش یک آواکس کوچک را بازی کرده و سایر هواپیماها را در صحنه نبرد هدایت کند. سقف پرواز آن 20 کیلومتر یعنی در حد هواپیماهای شناسایی فوق العاده بلندپرواز است. حداکثر سرعت آن نیز به 2500 کیلومتر بر ساعت می رسد.

نقطه ضعف اصلی این هواپیما تعداد اندک آن است: وزیر دفاع وقت آمریکا رابرت گیتس که همواره مورد انتقاد مقامات نیروی هوایی آمریکا بوده است تعداد سفارشات این هواپیمای جنگی بی نظیررا به 187 فروند کاهش داد در حالی که نیروی هوایی اعلام کرده بود حداقل به 381 فروند از این هواپیما نیاز دارد.

منبع:  Air Force Magazine /August 2016