مساله نیکوماک

رشته اعداد فرد راکه از واحد شروع شده اند به گروههایی تقسیم کرده ایم بطوری که تعداد جملات در گروههای متوالی، رشته اعداد طبیعی را تشکیل دهند. ثابت کنید مجموع اعداد هر گروه برابر است با مکعب تعداد جملات آن.

حل (از اصغر ناصری):

منظور گروههای زیر از اعداد فرد هستند:

(1)  (3, 5)  (7, 9 11)  (13, 15, 17, 19)  …

ابتدا یک فرمول استقرایی برای اولین عدد هر گروه می سازیم. این فرمول می تواند بصورت زیر باشد:

a_n = n² – n + 1

برای مثال اولین عدد گروه چهارم برابر است با:

a₄ = 4² – 4 + 1 = 13

بنابراین عدد اول گروه m ام برابر است با:

a_m = m² – m + 1

گروه m ام یک تصاعد حسابی با جمله اول m² – m + 1 و تعداد جملات m و قدر نسبت 2 است. بنابراین مجموع جملات آن برابر است با:

S_m = (m / 2) [ 2 a₁ + (m - 1) d ] = (m / 2) [ 2 (m² – m + 1) + (m – 1) (2)] =  (m / 2) (2 m²) = m³

این مساله ریاضی جالب به عنوان مساله نیکوماک معروف است. متاسفانه نسخه ای از این مساله به عنوان یک تست در کنکور سراسری تجربی سال 1394 مطرح شده است که به نظر بنده مناسب طرح به عنوان تست چهارگزینه ای نیست.