اعداد شگفت انگیز فیبوناچی

تالیف: اصغر ناصری

میراث امپراتوری روم برای اروپا، سیستم عدد نویسی آن بود که هنوز مورد استفاده قرار می‌گیرد. اعداد رومی را می‌توان در ساعت‌های قدیمی و نیز اعلان حق تالیف (copyright) در برنامه‌های تلویزیونی دید (به عنوان مثال ١٩٩٧ معادل MCMXCVII می‌باشد.

برای اعداد رومی تا قرن سیزدهم میلادی جایگزینی یافت نشد، تا اینکه فیبوناچی کتاب معروف خود به نام کتاب محاسبات (Liber abaci)  را نگاشت.

فیبوناچی که در اصل لئوناردو داپیزا نام داشت، در سال ١١٧٥ میلادی در پیزا به دنیا آمد. او سفرهای زیادی به شمال آفریقا و به بالکان نمود و در سال ١٢٠٠ به پیزا برگشت و دانشی که در طی این سفها آموخته بود را در تالیف کتاب خود بکار گرفت. در این کتاب او سیستم اعشاری عددنویسی را به دنیای لاتین معرفی کرد. اولین فصل بخش نخستین کتاب با این جمله آغاز می‌شود:

هندی‌ها نه رقم بکار می‌برند: ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١. با این نه رقم و علامت ٠ که در عربی زفیرم خوانده می‌شود، هر عددی را می‌توان نگاشت.

پیدا کردن ریشه معادلات

فیبوناچی قادر به انجام کارهای جالب توجهی در ریاضیات بود. او توانست جواب مثبت معادله زیر را پیدا کند:

 

جالب توجه‌تر آنکه او تمام کارهای ریاپی خود را در سیستم شصت‌گانی بابلی‌ها انجام می‌داد. او نتیجه حل این معادله را بصورت زیر بیان کرد:

 

روشی که او در حل این معادله بکار برد نامعلوم است. لیکن او این عمل را سیصد سال پیش از آنکه شخص دیگری قادر به حل معادله شود، انجام داد. جالب اینکه او محاسبه ریشه به سیستم شصت‌گانی را درست زمانی انجام داد که به دیگران استفاده از سیستم دهدهی را توصیه می‌کرد!

دنباله فیبوناچی

شاید مشهورترین کار فیبوناچی دنباله عددی معروف او باشد. این دنباله با اعداد ٠ و ١ آغاز می‌شود. سپس هر عدد از مجموع دو عدد قبلی دنباله بدست می‌آید. بدین ترتیب دنباله زیر را خواهیم داشت:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,...

شاید پرسیده شود که این اعداد از کجا آمده‌اند. در روزگار فیبوناچی، مسابقات ریاضی امری معمول بود. در یکی از این مسابقات بود که سوال زیر مطرح شد:

اگر از یک جفت خرگوش شروع کنیم، چنانچه هرماه هر جفت خرگوش بارور، جفت جدیدی بدنیا آورند که آنها نیز پس از یک ماه به باروری ‌رسند، پس از n ماه چند خرگوش خواهیم داشت؟

تصور کنید که پس از n ماه x_n جفت خرگوش داشته باشیم. تعداد جفت‌ها در ماه  n+1 ، برابر با x_n بعلاوه جفت‌های جدید بدنیا آمده خواهد بود. اما جفت‌های جدید از جفت‌هایی بدنیا می‌آیند که حداقل یکماهه باشند. در نتیجه x_n-1 جفت جدید خواهیم داشت (تعداد جفت‌های جدید بدنیا آمده برابر با جفت‌های آماده به تولید مثل است که یکماه پیش بدنیا آمده‌اند(:

x_n+1 = x_n + x_n-1

و این اساس قاعده تولید اعداد فیبوناچی را تشکیل می‌دهد.

یک معادله تفاضلات متناهی به شکل:

u_n+1 = au_n + bu_n-1

که در آن a و b اعداد حقیقی هستند را می توان با جایگذاری u_n=Aw^{n در معادله فوق حل کرد:}

Awⁿ⁺¹ = aAwⁿ + bAw^{n-1   -->  Awn-1 (w2)= Awn-1 (aw + b) --> w2 - aw - b = 0}

وقتی w1 با w2 برابر نباشد راه حل عمومی معادله تفاضلات متناهی به صورت u_n = A₁w₁ⁿ + A₂wⁿ خواهد بود. ثابتهای دلخواه A₁ و A₂ با شرایط اولیه u₀=1 و u₁=1 برای دنباله فیبوناچی بدست می آیند:

u₂ = au₁ + bu₀  -->  2 = a + b  -->  a = b = 1

از طرفی با حل معادله درجه 2 و جایگذاری آن در معادله تفاضلات متناهی اصلی به جواب زیر برای جمله عمومی دنباله فیبوناچی خواهیم رسید:

بسادگی می توان ثابت کرد:

این عدد به عنوان نسبت طلایی (golden mean یا golden section) خوانده می شود. می توان این نسبت را با استفاده از قضیه فیثاغورث بنا کرد. شکل زیر نحوه ساختن هندسی این نسبت را با استفاده از مربعی به طول واحد نشان می دهد:

نسبت طول به عرض این مستطیل همان نسبت طلایی است. مصریان و یونانیان باستان این نسبت را بخوبی می شناختند و در بناهای عظیم خود از آن استفاده می کردند. برای مثال بیشتر پنجره های معابد ساخته شده توسط یونانیان به شکل مستطیلی به ابعاد فوق هستند و نسبت طول میانه هر وجه یک هرم در مصر باستان به نیمی از طول قاعده آن با دقتزیادی برابر نسبت طلایی است (شکل زیر).

معبد معروف پارتنون بهترین مثال از کاربرد این نسبت در معماری یونان باستان است. نسبت عرض به طول پنجره‌های مستطیل شکل معبد همگی برابر نسبت طلایی است.یونانیان پنجره هایی با این نسبت را برای چشم انسان خوشایندتر می دانستند.

اگر هر عدد در دنباله فیبوناچی را به عدد پیش از خود تقسیم کنیم، مقدار این نسبتها بتدریج به یک عدد ثابت نزدیک می‌شود. در نمودار شکل زیر این نسبت در مورد هر کدام از اعداد فیبوناچی رسم شده است. همانطور که دیده می‌شود، این نسبت به یک مقدار حدی نزدیک می‌شود که همان نسبت طلایی است. معمولا این نسبت را با حرف فی یونانی نشان می دهند.

این نسبت در آناتومی بدن انسان نیز بکار رفته است. اگر قد خود را بر فاصله عمودی ناف تا نوک انگشتان خود تقسیم کنید، تقریبا عدد 1.618 را بدست می‌آورید. با تقسیم طول بازوی خود از نوک انگشت بزرگ تا بالای شانه، بر فاصله نوک انگشت بزرگ تا آرنج خود نیز به این نسبت می‌رسید. این نسبت در نقاشی معروف لئوناردو داوینچی به نام مرد ویترووین (Vitruvian Man) که به عنوان لوگوی این وبلاگ انتخاب شده، بدقت شرح داده شده است. از آنجایی که این نسبت در بسیاری از اندازه‌های بدن انسان وجود دارد، از آن به نام نسبت الهی نیز یاد می‌شود.

نسبت طلایی حضور خیره کننده‌ای در هندسه دارد. برای مثال این عدد برابر است با نسبت ضلع  یک پنج ضلعی منظم به طول قطر آن. اگر تمام قطرهای یک پنج ضلعی منتظم را بکشیم،‌ یک ستاره پنج پر بدست می‌آید که علامت بسیاری از پرچم‌های دنیاست. این ستاره، به نام ستاره داوود نیز خوانده می‌شود که نشان دیر صهیون است.

پرچم اتحادیه اروپا

پرچم ایالات متحده آمریکا

نسبت طلایی در طبیعت نیز بچشم می‌خورد. تعداد گلبرگ‌های گلها اغلب برابر با یکی از اعداد فیبوناچی است.تعداد مارپیچ‌های گل آفتاب‌گردان نیز برابر با یکی از اعداد فیبوناچی است.

این خواص شگفت انگیز باعث شده است تا برخی، اعداد فیبوناچی را حامل رمزهای پنهان طبیعت بدانند.

برای مطالعه بیشتر به آدرس زیر مراجعه کنید:

http://pass.maths.org.uk/issue3/fibonacci/index.html