پوش یک دسته منحنی و طریقه یافتن آن (2)

برای قسمت اول این مقاله کلیک کنید.

مثال: پوش دسته منحنی زیر را بیابید:

(x-c)²+y²=9

---

َAdvertisement

---

حل - این دسته منحنی معرف دوایری به مرکز نقطه (c,0) و شعاع 3 است. برای بدست آوردن پوش دستگاه زیر را حل می کنیم:

f(x,y)=(x-c)²+y²-9=0

f_c(x,y)=2(x-c)=0 ->  x=c

در معادله دوم نسبت به c مشتق گرفته شده است. اگر در معادله دایره قرار دهیم x=c خواهیم داشت:

(c-c)²+y²=9->y=3  ,   y=-3

دو خط افقی مزبور معادلات پوش دسته منحنی هستند.شکل زیر نمودار دسته منحنی و پوش آن را نشان می دهد.

برای ترسیم این نمودار از نرم افزارآانلاین بسیار جالب سایت https://www.desmos.com/calculator استفاده شده است.

پوش یک دسته منحنی و طریقه یافتن آن

دسته ای از منحنی های مسطح که توسط معادله پارامتری زیر مشخص شده را در نظر بگیرید:

f(x,y,C)=0

که C یک پارامتر است. منظور از پوش (envelope) این دسته منحنی، یک منحنی است که بر تمامی آنها به ازای مقادیر مختلف پارامتر C مماس است. شکل زیر مثالی از یک دسته منحنی پارامتری و پوش آن را نشان می دهد.

Advertisement

برای بدست آوردن پوش یک دسته منحنی باید دستگاه زیر را حل کرده و پارامتر C را میان آنها حذف کنیم:

 

این معادلات شرط لازم برای یافتن پوش یک دسته منحنی را بیان می دارند. ممکن است میان جوابهای این معادلات، نقاطی نیز باشند که در آنها مماس بر منحنی وجود ندارد. برای یافتن شرط کافی وجود پوش، باید نامعادلات زیر همزمان برقرار باشند:

 

تمام دسته منحنی های پارامتری دارای پوش نیستند. برای مثال دسته دایره هایی که توسط معادله زیر بیان می شوند:

 

دارای پوش نیستند و این واقعیت از تصویر زیر بخوبی روشن می گردد.

در قسمت دوم این مطلب مثالهایی از پوش دسته منحنی ارائه خواهد شد.