معمای مربع گمشده

معمای زیر شهرت زیادی در بین علاقمندان ریاضی دارد:

مربع سمت راست به چهار قسمت تقسیم شده است. این قسمت ها را در شکل سمت راست به صورتی دیگر کنار هم قرار داده ایم. در حالی که دو شکل باید از مساحت یکسان برخوردار باشند، مربع اصلی مساحت 64 و مستطیل سمت راست مساحتی معادل 65 واحد مربع دارد!!

اما نکته اصلی در کجاست؟ در اینجا از یک اشتباه ظریف دید س.د جسته شده است. شیب یک خط معادل ارتفاع تقسیم بر قاعده مثلثی تعریف می شود که خط بر آن ساخته شده است. بدین ترتیب شیب وتر مثلث قائم الزاویه برابر 8/3 و شیب ساق ذوزنقه معادل 5/2 است که با یکدیگر معادل نیستند. اگر اجزای مربع را به دقت بر روی یکدیگر سوار کنیم به شکل زیر سمت راست می رسیم که نشان می دهد بین قسمت ها یک فضای خالی وجود دارد. این فضای خالی معادل یک واحد مربع یعنی اختلاف مساحت دو شکل است.

لازم به ذکر است تمامی اشکال توسط نرم افزار اتوکد با دقت کامل ترسیم شده اند.

ترسیم شکل ها با نرم افزار اتوکد توسط اصغر ناصری

مروری بر اتحادها و تجزیه عبارتهای جبری

مروری بر اتحادها و تجزیه عبارت‌های جبری

تالیف: اصغر ناصری

تسلط بر اتحادهای جبری و تجزیه عبارتهای جبری به حاصلضرب عاملهای اول، یکی از مهمترین مهارتهایی است که برای درک عمیق ریاضی باید آموخت. متاسفانه در بیشتر کتابهای کمک آموزشی از این مبحث مهم به دلیل اینکه پرسش چهارگزینه‌ای مستقیمی از آن در کنکور مطرح نمی‌شود، غقلت می‌گردد و این امر داوطلبان کنکور را در مسیر آموختن مباحث اصلی درس ریاضی دچار مشکل می‌کند. در این نوشتار به معرفی اتحادهای جبری و طرح چند مساله جالب درباره آنها می‌پردازیم.

برای دانلود مطلب بالا به صورت PDF روی پیوند زیر کلیک کنید:

مروری بر اتحادها و تجزیه عبارتهای جبری

شامل مثالهای متنوع

نگاهی به کنکور سراسری سال 1397- تست های ریاضی رشته ریاضی فیزیک

نگاهی به کنکور سراسری سال 1397- تست های ریاضی رشته ریاضی فیزیک

تالیف: اصغر ناصری - مدرس خصوصی ریاضیات

مقدمه – در این نوشتار نگاهی کوتاه به تست های ریاضیات رشته ریاضی فیزیک کنکور سراسری 1397 می اندازیم و رویکرد کلی طراحان این امتحانات را بررسی خواهیم کرد. با نخستین تستها آغاز می کنیم.

 

برای بدست آوردن مساحت ناحیه محدود به دو منحنی ابتدا باید نقاط تقاطع آنها را پیدا کرد. برای این کار باید دستگاه معادلات زیر را حل کنیم:

بهترین راه برای حل این معادله نقطه یابی است. بجای x اعداد مثبت و منفی قرار می دهیم تا حاصل طرف چپ برابر 5 شود:

x = -2 , 3

حالا با استفاده از همین روش نقطه یابی نمودار دو تابع بالا را رسم می کنیم:

برای بدست آوردن مساحت ناحیه محدود به دو منحنی که شبیه یک متوازی الاضلاع است می توان مساحت مثلث بزرگ را منهای دو مثلث کوچکتر کرد:

و بدین ترتیب گزینه 4 صحیح است.

دقت کنید که پاسخ صحیح و سریع به اولین تست معمولا نقش زیادی در افزایش روحیه داوطلب دارد. لیکن هرگز بر سر یک تست بیش از حد معمول توقف نکنید. برای مثال تست 114 تست کاملا ساده ای است:

فرمول لازم برای حل این تست به قرار زیر است:

بنابراین تست به سادگی به صورت زیر حل می شود:

و گزینه 3 صحیح است.

بطور کلی می توان گفت امسال کنکور ریاضی اندکی ساده تر از سال قبل بوده، لیکن سالهاست که روحیه یکنواخت حاکم بر تستهای کنکور از بین رفته و تابع تنوع طلبی طراحان شده است. بنابراین تمرین و مطالعه بیشتر همچنان تنها راه موفقیت در این کنکور است.

موفق باشید.

برای تماس با مولف شماره زیر در اختیار شماست. ترجیحا از پیامک استفاده کنید:

09360771981

عدد شگفت انگیز

ریاضیات قلمرو زیبایی های بی مانند است. برخی اعداد در ریاضیات ویژگی هایی بسیار شگفت انگیز دارند. در این مقاله یکی از این اعداد جالب را معرفی می کنیم.

دو عدد 37 و 91 یک شباهت ساده دارند: مجموع ارقام هر دو برابر 10 است. اگر این دو عدد را در هم ضرب کنیم به عدد 3367 می رسیم.

حالا دنباله اعداد زیر را در نظر بگیرید:

33, 66, 99, 132, 165, 198,, 231, ...

این اعداد از ارقامی ساخته شده اند که سه واحد بیش از رقم قبلی هستند. البته پس از 99 به عدد 1212 می رسیم که برای آنکه یک عدد سه رقمی شود دو رقم وسطی با هم جمع شده اند. همچنین عدد بعدی 1515 است که به 165 تبدیل می شود.حالا این اعداد را در 3367 ضرب می کنیم:

33 x 3367 = 111111

66 x 3367 = 222222

99 x 3367 = 333333

132x 3367 = 444444

165 x 3367 = 555555

198 x 3367 = 666666

... ... ... ... ...

اعداد اول فرما

یک عدد اول (prime number) عددی صحیح است که تنها بر یک و خودش بخش پذیر باشد. مطالعه اعداد اول بخش مهمی از نظریه اعداد را تشکیل می دهد. اعداد اول آجرهای ساختمانی نظریه اعداد هستند زیرا هر عدد صحیح را می توان به صورت ضرب عاملهای اول نوشت. در نظریه اعداد براحتی ثابت می شود که مجموعه اعداد اول نامتناهی هستند یعنی بزرگترین عدد اول وجود ندارد.

در طول تاریخ تلاشهای فراوانی برای بسط روشهای تشخیص اول بودن اعداد انجام شده است و این موضوع هنوز محل بحث و تحقیق در ریاضیات است.

اعداد فرما که شکل کلی 

دارند برای چند قرن مورد کنکاش قرار گرفته اند. پنج عدد نخست این مجموعه:

همگی اول هستند. فرما در قرن شانزدهم ادعا کرد که تمامی اعداد فرما اول هستند. این یکی از اشتباهات معدود ولی بزرگ فرما بود. برای n = 5 به یک عدد مرکب بر می خوریم:

برخی اعداد اول بسیار بزرگ از فرمول بالا بدست می آیند. ماند عدد غول آسای اسکات:

---

تدریس خصوصی ریاضیات دبیرستان و دانشگاه توسط مدرس مجرب با سابقه بیش از بیست سال تدریس دروس مختلف ریاضی - شماره تماس [phone]   (ناصری)