الگوهای جالب اعداد

به چند الگوی جالب اعداد که در زیر معرفی شده توجه کنید. آیا می‌توانید توضیحی برای آنها بیابید؟

الگوی اول:

12345679 x   9 = 111,111,111
12345679 x 18 = 222,222,222
12345679 x 27 = 333,333,333
12345679 x 36 = 444,444,444
12345679 x 45 = 555,555,555
12345679 x 54 = 666,666,666
12345679 x 63 = 777,777,777
12345679 x 72 = 888,888,888
12345679 x 81 = 999,999,999

دقت کنید که عامل های دوم ضرب، مضارب عدد نه هستند و رقم 8 از دنباله ارقام 12345679 غایب است.

الگوی دوم:

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

الگوی سوم:

0 x 9 + 1 = 1
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111

الگوی چهارم:

0 x 9 + 8 = 8
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

آخرین قضیه فرما

پیر فرما (تولد 1601) بنیان گذار نظریه نوین اعداد محسوب می شود. سالهایی از دهه 1630 زندگی او وقف تصحیح کتاب آریثماتیکا اثر کلاسیک دیوفانتوس شده بود. او در حاشیه این کتاب مطلبی یادداشت کرد که به مدت چهارصدسال ریاضی دانان پس از خود را به تکاپو واداشت. 

این مطلب پیرامون قضیه ای بود که اکنون به عنوان آخرین قضیه فرما شناخته می شود. مطابق این قضیه معادله دیوفانتین یعنی   برای n > 2 در مجموعه اعداد صحیح جواب ندارد. به عنوان مثال هیچ سه عدد صحیح مخالف صفر را نمی‌توان یافت که معادله x³ + y³ = z³ را برآورده سازد.  

توجه کنید که برای n=2 معادله به فرم x²+y² = z² در میآید که همان قضیه فیثاغورث است و می دانیم بیشمار سه تایی صحیح می‌توان پیدا کرد که در معادله فوق صدق کنند. 

فرما در حاشیه کتاب ادعا کرد که اثبات این قضیه را یافته است. لیکن از ذکر آن خودداری کرد. اکنون تقریبا مطمئنیم که ادعای فرما خیلی دقیق نبوده و احتمالا برای n=3 و n=4 این قضیه را ثابت کرده، لیکن حل عمومی آن را نیافته است. 

در سال 1993 انفجاری در عالم ریاضیات اتفاق افتاد. اندرو وایلز با اثبات حالت نیمه پایدار حدس تانی یاما-شیمورا قضیه فرما را بطور پاره‌ای اثبات کرد. متاسفانه رخنه‌های متعددی در روش اثبات اندرو وایلز پدیدار شد. لیکن در سال 1994 وایلز و تایلور با همکاری هم مسئله را به یک فرمول شماره رده (Class Number Forula) فرو کاسته و اثبات نهایی آخرین قضیه فرما را ارائه کردند. 

اثبات قضیه فرما پایان یک دوران در ریاضیات بود. از آن جایی که ابزارهای مورد استفاده در حل این مسئله هنوز در زمان فرما ابداع نشده بودند، بنظر می رسد حل ادعایی فرما واقعیت نداشته باشد. 

در یکی از اپیزودهای کارتون معروف The Simpsons، معادله  در نقطه ای از پس زمینه تصویر دیده می شود. ممکن است بنظر برسد که این اعداد به ازای n=12 در قضیه فرما صدق می‌کنند، در حالی که حاصل دو طرف تنها در نه رقم اول با یکدیگر تطابق دارد. 

 

منابعی برای مطالعه بیشتر: 

http://math.ucsd.edu/programs/undergraduate/history_of_math_resource/history_papers/math_history_03.pdf 

http://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html 

حدس گولدباخ

به تساوی‌های زیر دقت کنید: 

4   = 2 + 2 

6   = 3 + 3 

8   = 3 + 5 

10 = 3 + 7 

12 = 5 + 7 

14 = 7 + 7 

16 = 5 + 11 

18 = 7 + 11 

20 = 7 + 13 

22 = 5 + 17 

24 = 7 + 17 

... 

به نظر می رسد هر عدد زوج بزرگتر از 2 را می‌توان بصورت مجموع دو عدد اول نوشت. آیا این امر برای تمام اعداد زوج بزرگتر از 2 امکان پذیر است؟ اولین بار کریستین گولدباخ دانشمند نظریه اعداد (1690 تا 1764 میلادی) این نظریه را مطرح کرد. تلاش دانشمندان برای اثبات این مسئله هنوز به نتیجه نرسیده است!

دو قلوهای اول

دوقلوهای اول یا prime twines ، یک جفت عدد اول هستند که 2 واحد با یکدیگر تقاوت دارند. چند مثال از این جفت اعداد عبارتند از (3,5)، (11,13) و (1000000007,1000000009). بزرگترین دو قلوی اول شناخته شده عبارتند از: 

 

هرکدام از اعداد فوق 11713 رقم دارند. چه تعداد از این جفت اعداد اول وجود دارد؟ آیا تعداد این جفت اعداد اول محدود است یا نامحدود؟ هنوز کسی پاسخ این پرسش‌ها را نمی‌داند! 

منبع: 

http://www.math.utah.edu/~pa/math/conjectures.html

اعداد دوستدار هم یا متحابه

 تالیف: اصغر ناصری 

یک جقت اعداد دوستدار هم، دو عدد صحیح هستند که مجموع مقسوم علیه های سره یکی (مقسوم علیه های عدد غیر از خودش) با عدد دیگر برابر شود. کوچکترین جفت شناخته شده از این اعداد عبارتند از 220 و 284.  

مجموع مقسوم علیه های عدد 220 عبارتند از: 

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 

 و مجموع مقسوم علیه های 284 عبارتند از:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 

نه جفت از اولین اعداد دوستدار هم عبارتند از: 

220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924) (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), (17296, 18416), (63020, 76084) 

تاکنون حدود 5001 جفت از این اعداد شناخته شده و این بررسی تا عددی به بزرگی  انجام شده است. یک جفت بزرگ از این اعداد عبارتند از: 

(2068113162038, 2101813493962) 

بزرگترین جفت عدد دوستدار شناخته شده هرکدام 24073 رقم دارند و در سال 2005 توسط جابلینگ کشف شده اند. این اعداد با معادلات زیر معرفی می شوند: 

 

دو عدد کامل فوق بصورت زیر با استفاده از پارامترهای بالا بدست می آیند: 

 

برای مطالعه بیشتر به منبع زیر مراجعه کنید: 

http://mathworld.wolfram.com/AmicablePair.html