روش جدیدی برای تجزیه اتحاد یک جمله مشترک

تالیف: اصغر ناصری ([e-mail])

در کتابهای درسی دبیرستان روشی استاندارد برای تجزیه یک چند جمله ای درجه دوم با استفاده از اتحاد یک جمله مشترک داده شده است که آن را می توان به صورت زیر خلاصه کرد:

در این جا می خواهم روشی ساده تر برای این تجزیه معرفی کنم که گرچه ممکن است درک منطق آن ساده نباشد ولی روشی است درست و میانبر. استفاده از این روشهای سریع و میانبر وقتی دانش آموز روشهای اصلی را درک کرده مشکلی ایجاد نمی کند و باعث صرفه جویی در وقت می شود؛ بویژه وقتی که مساله اصلی تجزیه چند جمله ای نبوده و بخواهیم از حاصل تجزیه در مساله مهم تری استفاده کنیم. مراحل روش به قرار زیر است:

1. ابتدا ضریب جمله درجه دوم را حذف کرده و در عدد ثابت ضرب می کنیم:

2. حالا این چند جمله ای ساده شده را تجزیه می کنیم. باید دو عدد بیابیم که حاصلضرب آنها -36 و مجموع آنها +5 باشد: 

3. حالا جمله مشترک x را به 6x تبدیل می کنیم. یادمان باشد که 6 همان ضریب جمله درجه دوم است:

4. از عبارات داخل پرانتز فاکتورگیری می کنیم:

5. ضرایب را حذف می کنیم. تجزیه کامل است:

همانطور که می بینید مراحل کار بسیار ساده تر از روش اصلی است. حالا این روش را در مورد چندجمله ای های زیر امتحان کرده و با پاسخ مقایسه کنید:

اعداد شگفت انگیز فیبوناچی

تالیف: اصغر ناصری

میراث امپراتوری روم برای اروپا، سیستم عدد نویسی آن بود که هنوز مورد استفاده قرار می‌گیرد. اعداد رومی را می‌توان در ساعت‌های قدیمی و نیز اعلان حق تالیف (copyright) در برنامه‌های تلویزیونی دید (به عنوان مثال ١٩٩٧ معادل MCMXCVII می‌باشد.

برای اعداد رومی تا قرن سیزدهم میلادی جایگزینی یافت نشد، تا اینکه فیبوناچی کتاب معروف خود به نام کتاب محاسبات (Liber abaci)  را نگاشت.

فیبوناچی که در اصل لئوناردو داپیزا نام داشت، در سال ١١٧٥ میلادی در پیزا به دنیا آمد. او سفرهای زیادی به شمال آفریقا و به بالکان نمود و در سال ١٢٠٠ به پیزا برگشت و دانشی که در طی این سفها آموخته بود را در تالیف کتاب خود بکار گرفت. در این کتاب او سیستم اعشاری عددنویسی را به دنیای لاتین معرفی کرد. اولین فصل بخش نخستین کتاب با این جمله آغاز می‌شود:

هندی‌ها نه رقم بکار می‌برند: ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١. با این نه رقم و علامت ٠ که در عربی زفیرم خوانده می‌شود، هر عددی را می‌توان نگاشت.

پیدا کردن ریشه معادلات

فیبوناچی قادر به انجام کارهای جالب توجهی در ریاضیات بود. او توانست جواب مثبت معادله زیر را پیدا کند:

 

جالب توجه‌تر آنکه او تمام کارهای ریاپی خود را در سیستم شصت‌گانی بابلی‌ها انجام می‌داد. او نتیجه حل این معادله را بصورت زیر بیان کرد:

 

روشی که او در حل این معادله بکار برد نامعلوم است. لیکن او این عمل را سیصد سال پیش از آنکه شخص دیگری قادر به حل معادله شود، انجام داد. جالب اینکه او محاسبه ریشه به سیستم شصت‌گانی را درست زمانی انجام داد که به دیگران استفاده از سیستم دهدهی را توصیه می‌کرد!

دنباله فیبوناچی

شاید مشهورترین کار فیبوناچی دنباله عددی معروف او باشد. این دنباله با اعداد ٠ و ١ آغاز می‌شود. سپس هر عدد از مجموع دو عدد قبلی دنباله بدست می‌آید. بدین ترتیب دنباله زیر را خواهیم داشت:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,...

شاید پرسیده شود که این اعداد از کجا آمده‌اند. در روزگار فیبوناچی، مسابقات ریاضی امری معمول بود. در یکی از این مسابقات بود که سوال زیر مطرح شد:

اگر از یک جفت خرگوش شروع کنیم، چنانچه هرماه هر جفت خرگوش بارور، جفت جدیدی بدنیا آورند که آنها نیز پس از یک ماه به باروری ‌رسند، پس از n ماه چند خرگوش خواهیم داشت؟

تصور کنید که پس از n ماه x_n جفت خرگوش داشته باشیم. تعداد جفت‌ها در ماه  n+1 ، برابر با x_n بعلاوه جفت‌های جدید بدنیا آمده خواهد بود. اما جفت‌های جدید از جفت‌هایی بدنیا می‌آیند که حداقل یکماهه باشند. در نتیجه x_n-1 جفت جدید خواهیم داشت (تعداد جفت‌های جدید بدنیا آمده برابر با جفت‌های آماده به تولید مثل است که یکماه پیش بدنیا آمده‌اند(:

x_n+1 = x_n + x_n-1

و این اساس قاعده تولید اعداد فیبوناچی را تشکیل می‌دهد.

یک معادله تفاضلات متناهی به شکل:

u_n+1 = au_n + bu_n-1

که در آن a و b اعداد حقیقی هستند را می توان با جایگذاری u_n=Aw^{n در معادله فوق حل کرد:}

Awⁿ⁺¹ = aAwⁿ + bAw^{n-1   -->  Awn-1 (w2)= Awn-1 (aw + b) --> w2 - aw - b = 0}

وقتی w1 با w2 برابر نباشد راه حل عمومی معادله تفاضلات متناهی به صورت u_n = A₁w₁ⁿ + A₂wⁿ خواهد بود. ثابتهای دلخواه A₁ و A₂ با شرایط اولیه u₀=1 و u₁=1 برای دنباله فیبوناچی بدست می آیند:

u₂ = au₁ + bu₀  -->  2 = a + b  -->  a = b = 1

از طرفی با حل معادله درجه 2 و جایگذاری آن در معادله تفاضلات متناهی اصلی به جواب زیر برای جمله عمومی دنباله فیبوناچی خواهیم رسید:

بسادگی می توان ثابت کرد:

این عدد به عنوان نسبت طلایی (golden mean یا golden section) خوانده می شود. می توان این نسبت را با استفاده از قضیه فیثاغورث بنا کرد. شکل زیر نحوه ساختن هندسی این نسبت را با استفاده از مربعی به طول واحد نشان می دهد:

نسبت طول به عرض این مستطیل همان نسبت طلایی است. مصریان و یونانیان باستان این نسبت را بخوبی می شناختند و در بناهای عظیم خود از آن استفاده می کردند. برای مثال بیشتر پنجره های معابد ساخته شده توسط یونانیان به شکل مستطیلی به ابعاد فوق هستند و نسبت طول میانه هر وجه یک هرم در مصر باستان به نیمی از طول قاعده آن با دقتزیادی برابر نسبت طلایی است (شکل زیر).

معبد معروف پارتنون بهترین مثال از کاربرد این نسبت در معماری یونان باستان است. نسبت عرض به طول پنجره‌های مستطیل شکل معبد همگی برابر نسبت طلایی است.یونانیان پنجره هایی با این نسبت را برای چشم انسان خوشایندتر می دانستند.

اگر هر عدد در دنباله فیبوناچی را به عدد پیش از خود تقسیم کنیم، مقدار این نسبتها بتدریج به یک عدد ثابت نزدیک می‌شود. در نمودار شکل زیر این نسبت در مورد هر کدام از اعداد فیبوناچی رسم شده است. همانطور که دیده می‌شود، این نسبت به یک مقدار حدی نزدیک می‌شود که همان نسبت طلایی است. معمولا این نسبت را با حرف فی یونانی نشان می دهند.

این نسبت در آناتومی بدن انسان نیز بکار رفته است. اگر قد خود را بر فاصله عمودی ناف تا نوک انگشتان خود تقسیم کنید، تقریبا عدد 1.618 را بدست می‌آورید. با تقسیم طول بازوی خود از نوک انگشت بزرگ تا بالای شانه، بر فاصله نوک انگشت بزرگ تا آرنج خود نیز به این نسبت می‌رسید. این نسبت در نقاشی معروف لئوناردو داوینچی به نام مرد ویترووین (Vitruvian Man) که به عنوان لوگوی این وبلاگ انتخاب شده، بدقت شرح داده شده است. از آنجایی که این نسبت در بسیاری از اندازه‌های بدن انسان وجود دارد، از آن به نام نسبت الهی نیز یاد می‌شود.

نسبت طلایی حضور خیره کننده‌ای در هندسه دارد. برای مثال این عدد برابر است با نسبت ضلع  یک پنج ضلعی منظم به طول قطر آن. اگر تمام قطرهای یک پنج ضلعی منتظم را بکشیم،‌ یک ستاره پنج پر بدست می‌آید که علامت بسیاری از پرچم‌های دنیاست. این ستاره، به نام ستاره داوود نیز خوانده می‌شود که نشان دیر صهیون است.

پرچم اتحادیه اروپا

پرچم ایالات متحده آمریکا

نسبت طلایی در طبیعت نیز بچشم می‌خورد. تعداد گلبرگ‌های گلها اغلب برابر با یکی از اعداد فیبوناچی است.تعداد مارپیچ‌های گل آفتاب‌گردان نیز برابر با یکی از اعداد فیبوناچی است.

این خواص شگفت انگیز باعث شده است تا برخی، اعداد فیبوناچی را حامل رمزهای پنهان طبیعت بدانند.

برای مطالعه بیشتر به آدرس زیر مراجعه کنید:

http://pass.maths.org.uk/issue3/fibonacci/index.html

نگاهی به کتاب های درسی نظام جدید آموزشی

خدا بیامرزدش. در همسایگی مان پیر زن خوش زبانی زندگی می کرد به نام نرگس خانم. اصالتا اهل دماوند بود و با آنکه حتی سواد خواندن و نوشتن نداشت گاهی ضرب المثل های شیرینی می گفت که در هیچ کتاب ادبی نمی شد پیدا کرد. خیلی از اوقات می گفت: "نکرده کارو نگیرین بکار" که بر اهمیت تجربه و به قول معروف پیرهن پاره کردن در گذر زمان تاکید داشت. تجربه و تعهد وقتی با هم همراه می شوند می توانند نتایج بزرگی ببار داشته باشند.

سالیان سال در این مرز و بوم کار تالیف کتبهای درسی به عهده برخی از فرهیخته ترین دانشمندان این سرزمین گذاشته شده بود. مانند دکتر حسین گل گلاب دانشمند بزرگ زیست شناسی، واژه پرداز بزرگ و سراینده شعر جاودان ای ایران ای مرز پرگهر. گذشت و گذشت تا نوبت ایام به گروههایی جدید رسید که گویا تالیف کتابهای درسی را بیشتر به عنوان یک پروژه نگاه می کردند تا خلق یک اثر ماندگار. مانند عزیزانی که تجربه خود در تالیف را از نوشتن جزوات دانشگاهی یا کمک درسی فراگرفته بودند!

برای نقد کتابهای درسی نظام جدید لازم نیست خیلی موشکافانه وارد قضیه شویم. کافی است نگاهی به عنوان و سرفصلهای کتاب حسابان سال سوم ریاضی بیاندازیم. یعنی کتابی که نقش مهمی در شکل دادن به ذهن دانش آموز و آماده ساختن او برای ورود به دنیای ریاضیات مدرن دارد.

نام کتاب "حسابان" است، یعنی "دو حساب". اما کدام دو حساب؟ منظور حساب دیفرانسیل و حساب انتگرال است که زیربنای ریاضیات نوین محسوب می شود. اما با مطالعه کتاب می بینید که تنها گذری به حساب دیفرانسیل شده است و از حساب انتگرال خبری نیست! بخش اول کتاب هم به جبران مافات و ارائه نواقص سالهای گذشته اختصاص داده شده است!

بنابراین نام کتاب غلط است و از ابتدا مولفین کتاب با یک اشتباه صریح کار را شروع کرده اند: خشت اول چون نهد معمار کج.... کتاب حسابان فقط از یک نوع حساب صحبت می کند و نام حسابان یا دو حساب برای آن درست نیست.

راستی چه اتفاقی افتاده است؟ تالیف کتاب درسی باید یک امر مقدس تلقی شود نه کاری از روی رفع مسئولیت. کتابهای درسی خوب می توانند آینده نسل جوان را متحول کنند. نوجوانی که بهترین مونس او کتاب درسی اوست کمتر به دام انحرافات اخلاقی و فکری می افتد و خلاق تر و مسئولیت پذیرتر بار می آید. مولفین کتابهای درسی نظام جدید هیگاه تحقیق کرده اند چند نفر از دانش آموزان ما کتاب درسی را به عنوان یک منبع قابل اعتماد برای یادگیری می داند؟ مطمئنم پاسخی برای این سوال ندارند.

الگوهای جالب اعداد

به چند الگوی جالب اعداد که در زیر معرفی شده توجه کنید. آیا می‌توانید توضیحی برای آنها بیابید؟

الگوی اول:

12345679 x   9 = 111,111,111
12345679 x 18 = 222,222,222
12345679 x 27 = 333,333,333
12345679 x 36 = 444,444,444
12345679 x 45 = 555,555,555
12345679 x 54 = 666,666,666
12345679 x 63 = 777,777,777
12345679 x 72 = 888,888,888
12345679 x 81 = 999,999,999

دقت کنید که عامل های دوم ضرب، مضارب عدد نه هستند و رقم 8 از دنباله ارقام 12345679 غایب است.

الگوی دوم:

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

الگوی سوم:

0 x 9 + 1 = 1
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111

الگوی چهارم:

0 x 9 + 8 = 8
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

آخرین قضیه فرما

پیر فرما (تولد 1601) بنیان گذار نظریه نوین اعداد محسوب می شود. سالهایی از دهه 1630 زندگی او وقف تصحیح کتاب آریثماتیکا اثر کلاسیک دیوفانتوس شده بود. او در حاشیه این کتاب مطلبی یادداشت کرد که به مدت چهارصدسال ریاضی دانان پس از خود را به تکاپو واداشت. 

این مطلب پیرامون قضیه ای بود که اکنون به عنوان آخرین قضیه فرما شناخته می شود. مطابق این قضیه معادله دیوفانتین یعنی   برای n > 2 در مجموعه اعداد صحیح جواب ندارد. به عنوان مثال هیچ سه عدد صحیح مخالف صفر را نمی‌توان یافت که معادله x³ + y³ = z³ را برآورده سازد.  

توجه کنید که برای n=2 معادله به فرم x²+y² = z² در میآید که همان قضیه فیثاغورث است و می دانیم بیشمار سه تایی صحیح می‌توان پیدا کرد که در معادله فوق صدق کنند. 

فرما در حاشیه کتاب ادعا کرد که اثبات این قضیه را یافته است. لیکن از ذکر آن خودداری کرد. اکنون تقریبا مطمئنیم که ادعای فرما خیلی دقیق نبوده و احتمالا برای n=3 و n=4 این قضیه را ثابت کرده، لیکن حل عمومی آن را نیافته است. 

در سال 1993 انفجاری در عالم ریاضیات اتفاق افتاد. اندرو وایلز با اثبات حالت نیمه پایدار حدس تانی یاما-شیمورا قضیه فرما را بطور پاره‌ای اثبات کرد. متاسفانه رخنه‌های متعددی در روش اثبات اندرو وایلز پدیدار شد. لیکن در سال 1994 وایلز و تایلور با همکاری هم مسئله را به یک فرمول شماره رده (Class Number Forula) فرو کاسته و اثبات نهایی آخرین قضیه فرما را ارائه کردند. 

اثبات قضیه فرما پایان یک دوران در ریاضیات بود. از آن جایی که ابزارهای مورد استفاده در حل این مسئله هنوز در زمان فرما ابداع نشده بودند، بنظر می رسد حل ادعایی فرما واقعیت نداشته باشد. 

در یکی از اپیزودهای کارتون معروف The Simpsons، معادله  در نقطه ای از پس زمینه تصویر دیده می شود. ممکن است بنظر برسد که این اعداد به ازای n=12 در قضیه فرما صدق می‌کنند، در حالی که حاصل دو طرف تنها در نه رقم اول با یکدیگر تطابق دارد. 

 

منابعی برای مطالعه بیشتر: 

http://math.ucsd.edu/programs/undergraduate/history_of_math_resource/history_papers/math_history_03.pdf 

http://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html