خواص اعجاب انگیز اعداد فیبوناچی

در قسمت قبل، دنباله اعداد فیبوناچی معرفی شدند. در این قسمت برخی از خواص جالب این اعداد بیان می‌شود.

مقدار خاصی که بستگی نزدیکی به دنباله فیبوناچی دارد، نسبت طلایی نامیده می‌شود. اگر هر عدد در دنباله فیبوناچی را به عدد پیش از خود تقسیم کنیم، مقدار این نسبتها بتدریج به یک عدد ثابت نزدیک می‌شود. در نمودار شکل زیر این نسبت در مورد هر کدام از اعداد فیبوناچی رسم شده است. همانطور که دیده می‌شود، این نسبت به یک مقدار حدی نزدیک می‌شود.

مقدار این نسبت را به سادگی می‌توان از یک معادله بدست آورد. شکل زیر طرز محاسبه این نسبت را نشان می‌دهد. همانطور که می‌بینید این نسبت معادل 1.618 بدست می‌آید که یونانیان آنرا با حرف Ф (فی) نشان می‌دهند.

یونانیان قدیم با این نسبت به خوبی آشنا بودند. معبد معروف پارتنون بهترین مثال از کاربرد این نسبت است. نسبت عرض به طول پنجره‌های مستطیل شکل معبد همگی برابر نسبت طلایی است. در اهرام مصر نیز این نسبت بخوبی رعایت شده است. طول هر ضلع قاعده هرکدام از اهرام به ارتفاع آن، معادل نسبت طلایی می‌باشد.

این نسبت در آناتومی بدن انسان نیز بکار رفته است. اگر قد خود را بر فاصله عمودی ناف تا نوک انگشتان خود تقسیم کنید، تقریبا عدد 1.618 را بدست می‌آورید. با تقسیم طول بازوی خود از نوک انگشت بزرگ تا بالای شانه، بر فاصله نوک انگشت بزرگ تا آرنج خود نیز به این نسبت می‌رسید. این نسبت در نقاشی معروف لئوناردو داوینچی به نام مرد ویترووین (Vitruvian Man) که به عنوان لوگوی این وبلاگ انتخاب شده، بدقت شرح داده شده است. از آنجایی که این نسبت در بسیاری از اندازه‌های بدن انسان وجود دارد، از آن به نام نسبت الهی نیز یاد می‌شود.

نسبت طلایی حضور خیره کننده‌ای در هندسه دارد. برای مثال این عدد برابر است با نسبت ضلع  یک پنج ضلعی منظم به طول قطر آن. اگر تمام قطرهای یک پنج ضلعی منتظم را بکشیم،‌ یک ستاره پنج پر بدست می‌آید که علامت بسیاری از پرچم‌های دنیاست. این ستاره، به نام ستاره داوود نیز خوانده می‌شود که نشان دیر صهیون است.

نسبت طلایی در طبیعت نیز بچشم می‌خورد. تعداد گلبرگ‌های گلها اغلب برابر با یکی از اعداد فیبوناچی است.تعداد مارپیچ‌های گل آفتاب‌گردان نیز برابر با یکی از اعداد فیبوناچی است.

این خواص شگفت انگیز باعث شده است تا برخی، اعداد فیبوناچی را حامل رمزهای پنهان طبیعت بدانند.

منبع اصلی:

http://pass.maths.org.uk/issue3/fibonacci/index.html

اعداد شگفت انگیز فیبوناچی

اعداد شگفت انگیز فیبوناچی

میراث امپراتوری روم برای اروپا، سیستم عدد نویسی آن بود که هنوز مورد استفاده قرار می‌گیرد. اعداد رومی را می‌توان در ساعت‌های قدیمی و نیز اعلان حق تالیف (copyright) در برنامه‌های تلویزیونی دید (به عنوا مثال ١٩٩٧ معادل MCMXCVII می‌باشد.

برای اعداد رومی تا قرن سیزدهم میلادی جایگزینی یافت نشد، تا اینکه فیبوناچی کتاب معروف خود به نام کتاب محاسبات (Liber abaci) را نگاشت.

فیبوناچی که در اصل لئوناردو داپیزا نام داشت، در سال ١١٧٥ میلادی در پیزا به دنیا آمد. او سفرهای زیادی به شمال آفریقا و به بالکان نمود و در سال ١٢٠٠ به پیزا برگشت و دانشی که در طی این سفها آموخته بود را در تالیف کتاب خود بکار گرفت. در این کتاب او سیستم اعشاری عددنویسی را به دنیای لاتین معرفی کرد. اولین فصل بخش نخستین کتاب با این جمله آغاز می‌شود:

هندی‌ها نه رقم بکار می‌برند: ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١. با این نه رقم و علامت ٠ که در عربی زفیرم خوانده می‌شود، هر عددی را می‌توان نگاشت.

پیدا کردن ریشه معادلات

فیبوناچی قادر به انجام کارهای جالب توجهی در ریاضیات بود. او توانست جواب مثبت معادله زیر را پیدا کند:

جالب توجه‌تر آنکه او تمام کارهای ریاپی خود را در سیستم شصت‌گانی بابلی‌ها انجام می‌داد. او نتیجه حل این معادله را بصورت زیر بیان کرد:

روشی که او در حل این معادله بکار برد نامعلوم است. لیکن او این عمل را سیصد سال پیش از آنکه شخص دیگری قادر به حل معادله شود، انجام داد. جالب اینکه او محاسبه ریشه به سیستم شصت‌گانی را درست زمانی انجام داد که به دیگران استفاده از سیستم دهدهی را توصیه می‌کرد!

دنباله فیبوناچی

شاید مشهورترین کار فیبوناچی دنباله عددی معروف او باشد. این دنباله با اعداد ٠ و ١ آغاز می‌شود. سپس هر عدد از مجموع دو عدد قبلی دنباله بدست می‌آید. بدین ترتیب دنباله زیر را خواهیم داشت.

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,...

شاید پرسیده شود که این اعداد از کجا آمده‌اند. در روزگار فیبوناچی، مسابقات ریاضی امری معمول بود. در یکی از این مسابقات بود که سوال زیر مطرح شد:

اگر از یک جفت خرگوش شروع کنیم، چنانچه هرماه هر جفت خرگوش بارور، جفت جدیدی بدنیا آورند که آنها نیز پس از یک ماه به باروری ‌رسند، پس از n ماه چند خرگوش خواهیم داشت؟

تصور کنید که پس از n ماه x_n جفت خرگوش داشته باشیم. تعداد جفت‌ها در ماه n+1 ، برابر با x_n بعلاوه جفت‌های جدید بدنیا آمده خواهد بود. اما جفت‌های جدید از جفت‌هایی بدنیا می‌آیند که حداقل یکماهه باشند. در نتیجه x_n-1 جفت جدید خواهیم داشت (تعداد جفت‌های جدید بدنیا آمده برابر با جفت‌های آماده به تولید مثل است که یکماه پیش بدنیا آمده‌اند):

x_n+1 = x_n + x_n-1

و این اساس قاعده تولید اعداد فیبوناچی را تشکیل می‌دهد.

در قسمت بعد خواص شگفت انگیز این اعداد را بیان خواهیم کرد.

گرانترین اتومبیل‌های دنیا

در صدر فهرست گرانترین اتومبیل‌های دنیا، بوگاتی ویرون افسانه‌ای (Bugatti Veyron) قرار دارد که گرانترین، سریعترین و قدرتمندترین اتومبیل دنیا محسوب می‌شود. قیمت این اتومبیل تنها یک میلیون و هفتصد هزار دلار (حدود یک میلیارد و پانصدهزار تومان) است!

 

حداکثر سرعت این اتومبی ٤٠٠ کیلومتر در ساعت و قدرت موتور ١٦ سیلندر آن ١٠٠٠ اسب بخار است. بدین ترتیب این اتومبیل قدرتی معادل یک کامیون کوچک دارد.

دومین اتومبیل در این فهرست، انزو فراری (Enzo Ferrari) است که یک میلیون دلار قیمت آن می‌باشد. موتور ١٢ سیلندر آن می‌تواند اتومبیل را به سرعت ٣٠٠ کیلومتر در ساعت برساند.

اما به اعتقاد من اتومبیل‌های ساخت ایران گرانترین در دنیا می‌باشند. زیرا چنین اتومبیل‌هایی با کیفیت متوسط به پایین را تنها در ایران با این قیمت بالا می‌شود خرید! به عنوان مثال یک اتومبیل پژو ٤٠٥ که اکنون در دنیا تولید نمی‌شود، به بهای حدود ١٧٠٠٠ دلار به خریدار ایرانی فروخته می‌شود که معادل یک اتومبیل ژاپنی بسیار مدرن قیمت‌گذاری شده است!