مساله نیکوماک

رشته اعداد فرد راکه از واحد شروع شده اند به گروههایی تقسیم کرده ایم بطوری که تعداد جملات در گروههای متوالی، رشته اعداد طبیعی را تشکیل دهند. ثابت کنید مجموع اعداد هر گروه برابر است با مکعب تعداد جملات آن.

حل (از اصغر ناصری):

منظور گروههای زیر از اعداد فرد هستند:

(1)  (3, 5)  (7, 9 11)  (13, 15, 17, 19)  …

ابتدا یک فرمول استقرایی برای اولین عدد هر گروه می سازیم. این فرمول می تواند بصورت زیر باشد:

a_n = n² – n + 1

برای مثال اولین عدد گروه چهارم برابر است با:

a₄ = 4² – 4 + 1 = 13

بنابراین عدد اول گروه m ام برابر است با:

a_m = m² – m + 1

گروه m ام یک تصاعد حسابی با جمله اول m² – m + 1 و تعداد جملات m و قدر نسبت 2 است. بنابراین مجموع جملات آن برابر است با:

S_m = (m / 2) [ 2 a₁ + (m - 1) d ] = (m / 2) [ 2 (m² – m + 1) + (m – 1) (2)] =  (m / 2) (2 m²) = m³

این مساله ریاضی جالب به عنوان مساله نیکوماک معروف است. متاسفانه نسخه ای از این مساله به عنوان یک تست در کنکور سراسری تجربی سال 1394 مطرح شده است که به نظر بنده مناسب طرح به عنوان تست چهارگزینه ای نیست.

مربع جادویی

تالیف: اصغر ناصری 

مربع های جادویی

یکی از جالب ترین ساختارها در ریاضی، مربع های جادویی است. این مربع خاصیت ساده ای دارد: مجموع اعداد روی هر سطر یا هر ستون برابر عددی ثابت است. نمونه ای از این مربع های جادویی را در شکل زیر می بینید:

8	1	6
3	5	7
4	9	2

همانطور که می بینید مجموع اعداد هر سه سطر برابر 15 است:

15 = 8 + 1 + 6

15 = 3 + 5 + 7

15 = 4 + 9 + 2

 این خاصیت در مورد سه ستون نیز برقرار است. همین خاصیت را در مورد اعداد روی قطرهای اصلی و فرعی مشاهده خواهید کرد.

نکته جالب این است که مجموع اعداد روی هر سطر، ستون یا قطر سه برابر عدد وسط مربع جادویی (در اینجا 5) است. همچنین مجموع تمام اعداد مربع جادویی 9 برابر عدد وسط مربع است. مربع بالا با ارقام 1 تا 9 ساخته شده است و داریم:

 45 = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

اما شگفت آورترین خاصیت مربع جادویی این است که مجموع مربعات اعداد سه رقمی که توسط سطرها یا ستون ها ساخته می‌شود از دو سمت راست به چپ و چپ به راست با هم برابر است:

492² + 357² + 816² = 294² + 753² + 618²

موضوع برای تحقیق: یک مربع جادویی پیدا کنید که  تنها از اعداد اول ساخته شده باشد.

مسایل انتگرال همراه با حل

سری اول مسایل انتگرال همراه با حل

روش جدیدی برای تجزیه اتحاد یک جمله مشترک

تالیف: اصغر ناصری ([e-mail])

در کتابهای درسی دبیرستان روشی استاندارد برای تجزیه یک چند جمله ای درجه دوم با استفاده از اتحاد یک جمله مشترک داده شده است که آن را می توان به صورت زیر خلاصه کرد:

در این جا می خواهم روشی ساده تر برای این تجزیه معرفی کنم که گرچه ممکن است درک منطق آن ساده نباشد ولی روشی است درست و میانبر. استفاده از این روشهای سریع و میانبر وقتی دانش آموز روشهای اصلی را درک کرده مشکلی ایجاد نمی کند و باعث صرفه جویی در وقت می شود؛ بویژه وقتی که مساله اصلی تجزیه چند جمله ای نبوده و بخواهیم از حاصل تجزیه در مساله مهم تری استفاده کنیم. مراحل روش به قرار زیر است:

1. ابتدا ضریب جمله درجه دوم را حذف کرده و در عدد ثابت ضرب می کنیم:

2. حالا این چند جمله ای ساده شده را تجزیه می کنیم. باید دو عدد بیابیم که حاصلضرب آنها -36 و مجموع آنها +5 باشد: 

3. حالا جمله مشترک x را به 6x تبدیل می کنیم. یادمان باشد که 6 همان ضریب جمله درجه دوم است:

4. از عبارات داخل پرانتز فاکتورگیری می کنیم:

5. ضرایب را حذف می کنیم. تجزیه کامل است:

همانطور که می بینید مراحل کار بسیار ساده تر از روش اصلی است. حالا این روش را در مورد چندجمله ای های زیر امتحان کرده و با پاسخ مقایسه کنید:

روشهای ابتکاری تست زدن (15)

حداقل چند دوتایی مرتب از اعداد صحیح انتخاب کنیم تا بطور قاطع لااقل در دو جفت انتخاب شده (a,b) و (c,d) حاصل هر دو عدد a+c و b+d زوج باشد (سراسری 89 خارج از کشور)

1) 3           2) 4            3) 5                4) 6

حل: برای حل این تست از این نکته شروع می کنیم که مجموع دو عدد وقتی زوج است که یا هر دوی آنها زوج باشند یا هر دو فرد.

بنابراین زوجهای مربوطه باید به صورت زیر باشند:

حالت یک -            (زوج و زوج) (زوج و زوج)

حالت دو -             (زوج و فرد) (زوج و فرد)

حالت سه -          (فرد و فرد) (فرد و فرد)

حالت چهار -        (فرد و زوج) (فرد و زوج)

کدامیک از مطالب خوانده شده در ریاضیات گسسته یا جبر و احتمال بدرد حل این تست می خورد؟ به واژه کلیدی لااقل توجه کنید که بیشتر در اصل لانه کبوتر بکار می رود.

یافتیم! بطور کلی در بالا چهار نوع زوج مرتب داریم:

(زوج و زوج)   (زوج و فرد)   (فرد و فرد)   (فرد و زوج)

چهار حالت فوق را مانند چهار لانه کبوتر در نظر بگیرید. اگر 5 = 1+ 4 زوج مرتب انتخاب کنیم لااقل دو تا از آنها تکراری هستند و یکی از حالتهای چهارگانه فوق را می سازند که شرط زوج بودن مجموع دو مولفه اول و مجموع دو مولفه دوم در آنها برقرار است.

پس گزینه 3 صحیح است.

برای مطالب بیشتری از این دست به گروه زیر مراجعه کنید:

روشهای ابتکاری تست زدن