مسایل حل شده از معادلات دیفرانسیل

معادلات دیفرانسیل یکی از دروس پایه بسیاری رشته‌های دانشگاهی محسوب می‌شود. یکی از اساسی ترین روشها در درک پدیده‌های جهان، مدلسازی از روی آنها است. این مدلها اغلب شکل یک معادله دیفرانسیل را دارند که با حل آن امکان درک بهتر آن پدیده میسر می‌شود. با این وجود، تنوع مسایل در این درس چالشی برای دانشجویان بشمار می‌رود. در این نوشتار سعی شده فهرستی از مسایل کلیدی معادلات دیفرانسیل طرح و بحث شود تا راهنمایی برای آمادگی دانشجویان جهت امتحان این درس باشد. در حل تشریحی هر مساله، ابتدا روش حل عمومی مطرح شده است. مسایل و نمادگذاری‌ها مطابق متن کتاب زیر انتخاب شده‌اند:

Differential Equations with Applications and Historical Notes, George F. Simmons, CRC Press, Third Edition 2017.

مرجع بسیار جامع دیگر، کتاب معادلات دیفرانسیل تالیف دکتر محمد نیکوکار است که مخزنی غنی از مسایل حل شده نیز بشمار می‌رود. روی لینک زیر کلیک کنید:

مسایل حل شده از معادلات دیفرانسیل (PDF)

https://s34.picofile.com/file/8486151026/ODE.pdf.html

لئونارد اویلر

بزرگترین ریاضیدان تمامی اعصار

لئونارد اویلر (1707 – 1783) برترین دانشمند سویسی و یکی از سه " اَ بَر ریاضیدان" تاریخ بوده است (دو تن دیگر عبارتند از گاوس و ریمان).

او را شاید بتوان پرکارترین نویسنده تمامی زمانها در هر زمینه‌ای دانست. از 1727 تا 1783 تالیفات او به شکل سیلابی سهمگین تمامی زمینه‌های علوم را درنوردید و بطور پیوسته ای بر دانش انسانی در هر شاخه ای از ریاضیات محض و کاربردی افزود. همچنین بسیاری زمینه های جدید در ریاضیات ابداع شخص اوست.

او سالانه بطور متوسط 800 صفحه اثر علمی به چاپ می‌رسانید و همواره بنظر می رسید چیزی ارزشمند برای گفتن دارد و هیچگاه ذهنش از تکاپو نمی ایستاد. انتشار آثار او در سال 1911 آغاز شد و هنوز برای آن پایانی متصور نیست. قرار بود این نسخه از آثار او شامل 887 عنوان در 72 مجلد باشد اما از آن زمان دست نوشته های ناشناخته جدیدی از او کشف شده و تخمین زده می شود 100 کتاب بزرگ برای تکمیل آثار او مورد نیاز باشد. اویلر آثار ریاضی خود را با آسانی و تسلط یک سخنران ماهر به تحریر در می‌آورد که در حال صحبت درباره موضوعی آشنا است. نوشته های او مدلی از روشنی و وضوح کامل هستند. او هیچگاه ایده های سرشار خود را خلاصه بیان نمی کرد. فیزیکدان فرانسوی آراگو درباره توانایی های محاسباتی او گفته است: او بدون تلاش آشکاری محاسبات خود را انجام می داد، به آسانی تنفس یک انسان یا پرواز عقاب در آسمان. او در 17 سال آخر عمر خود کاملا نابینا بود با این وجود به مدد حافظه باورنکردنی و تصور نیرومند خود و کمک اطرافیان توانست به نوشتن کتاب ها و مقالات علمی خود ادامه دهد و حتی بر حجم آثار خود افزود.

اویلر شهروند باسل و دانشجوی جان برنولی در دانشگاه این شهر بود اما بزودی بر استاد خود برتری یافت. زندگی کاری او به عنوان عضوی از آکادمی علوم در برلین و سنت پترزبورگ گذشت و بیشتر مقالات او در نشریات این موسسات انتشار یافت. او در فیزیولوژی، پزشکی، گیاهشناسی، جغرافیا و کل علوم فیزیکی شناخته شده زمان خود نیز سرآمد بود. زندگانی آرام و بدون حادثه‌ای را گذراند که ثمره آن خانواده‌ای با سیزده فرزند بود.

به حق گفته اند که تمامی متون درسی مقدماتی و پیشرفته حساب دیفرانسیل و انتگرال نسخه برداری از آثار اویلر بوده است. او هندسه مسطحه و هندسی تحلیلی اجسام صلب را به کمال رساند، رویکرد تحلیلی به مثلثات را ابداع کردو توابع مدرن لگاریتم و تابع نمایی را بسط داد. او نظریه جامعی برای لگاریتم اعداد منفی و موهومی ارائه کرد. اعداد e، پی و i توسط او متداول شدند و معادله معروفی که این سه عدد را به هم پیوند می دهد، یعنی زیباترین معادله دنیای ریاضیات را معرفی کرد:

بدون معادله معروف او یعنی  آنالیز پیشرفته وجود نداشت. نمادهای مثلثاتی sin x، cos x و استفاده از f(x) برای نشان دادن شکل عمومی تابع از دیگر ابداعات درخشان اوست.

او نخستین و بزرگترین استاد سریهای نامتناهی، حاصل ضربهای نامتناهی و کسرهای پیوسته بود. حتی جیمز برنولی بزرگ نتوانست مجموع سری نامتناهی زیر را بیابد:

این اویلر بود که ثابت کرد مجموع فوق برابر  است. او همچنین مجموع های دشوار زیر را اثبات نمود:

او نخستین کسی بود که کاربرد تبدیلات لاپلاس در حل معادلات دیفرانسیل را تشریح کرد. نظریه مدرن اعداد بیش از همه مدیون کارهای اویلر است.

اطلاع از اهمیت و نقش لویلر در ریاضیات مدرن خود نیاز به تخصص عالی در این زمینه دارد. علاقمندان برای مطالعه بیشتر می توانند به کتاب معادلات دیفرانسیل تالیف سیمونز مراجعه نمایند.

بخش‌های مختلف هواپیما و کارکرد آنها

بخش‌های مختلف هواپیما و کارکرد آنها

هواپیماها دارای شکل‌ها و اندازه‌های مختلفی بسته به ماموریت کاری خود هستند. هواپیمایی که در این عکس نشان داده شده یک هواپیمای مسافربری با دو موتور توربوفن است که به عنوان یک هواپیمای نوعی نشان داده شده است.

بال‌ها

بال‌ها بیشتر نیروی بالابر هواپیما را تولید می‌کنند. برای تولید نیروی بالابر، بالها باید در هوا به جلو رانده شوند. هوا در برابر حرکت هواپیما تولید نیروی مقاومتی به نام پسا (drag) می‌کند. موتورهای توربو (توربوجت یا توربوفن) که معمولا زیر بال قرار دارند تولید نیروی پیشرانه (thrust) برای غلبه بر پسا و جلو راندن هواپیما می‌کنند.

استبلایزرهای عمودی و افقی

برای کنترل هواپیما و مانور دادن آن، بالهای کوچکی در دم هواپیما نصب می شوند. دم تغلب دارای یک قسمت افقی ثابت است که استبلایزر افقی نامیده می شود. همچنین یک قطعه عمودی ثابت دارد که استبلایزر عمودی نامیده می شود. وظیفه استبلایزر تامین پایداری هواپیما و فراهم کردن امکان پرواز مستقیم است. استبلایزر عمودی باعث می شود نوک هواپیما از سویی به سوی دیگر نچرخد، گرایشی که حرکت جنبی یا (yaw) نامیده می شود. استبلایزر افقی مانع بالا و پایین شدن دماغه هواپیما می شود، حرکتی که  (pitch) نام دارد. در نخستین هواپیما که وسط برادران رایت ساخته شد، استبلایزر افقی جلوی بالهای اصلی نصب شده بود که در این پیکربندی نام آنها کانارد (canard) است.

در قسمت عقبی بالها و استبلایزرها بخش های متحرک کوچکی هستند که توسط لولا به قسمت ثابت بال یا دم نصب شده اند. در تصویر اینها با رنگ قهوه ای مشخص شده اند. تغییر زاویه این قسمتها میزان نیروی تولید شده توسط بال را تغییر می دهد. توانایی تغییر نیروی تولید شده توسط بال وسیله ای برای کنترل و مانور دادن هواپیما در اختیار ما قرار می دهد. بخش لولادار دم عمودی، سکان عمودی (rudder) نامیده می‌شود. این سطح متحرک برای منحرف کردن دم به چپ و راست محور اصلی بدنه استفاده می‌شود. بخش لولادار دم افقی بالابرنده (elevator) نامیده می‌شود که کارکرد آن بالا و پایین بردن دم است. بخش لولادار بیرونی بال ایلرون (aileron) نام دارد و باعث غلتیدن هواپیما به پهلوها می‌شود. بیشتر هواپیماهای مسافربری بخش های متحرکی روی بال به نام اسپویلر دارند که در مواقع لزوم باعث کاهش نیروی بالابر تولید شده توسط بالها می شوند.

فلپ ها و اسپویلرها

بالها دارای بخش های لولادار عقبی تضتفی هستند که فلپ (flap) نامیده می شوند. فلپ ها در هنگام برخاست و نشست به سمت پایین حرکت می کنند تا میزان نیروی بالابر را افزایش دهند. در برخی هواپیماها، بخش جلویی بال نیز از جای خود جابجا می شود. این بخش ها که اسلت (slat) نام دارند برای افزایش نیروی بالابر بال در هنگام برخاست و نشست استفاده می شوند. اسپویلرها نیز هنگام نشستن عمل می کنند تا از سرعت هواپیما بکاهند.

فلپ ها در عقب بال هواپیمای مسافربری

بدنه

بدنه (فیوزلاژ= fuselage) تمامی بخش های هواپیما را متصل به هم نگاه می‌دارد. خلبانها در کابین (cockpit) در جلوی بدنه می‌نشینند. مسافران و محموله نیز در بدنه قرار می گیرند. برخی هواپیماها سوخت را نیز در بدنه حمل می کنند و برخی نیز درون بالها.

منبع:

https://www1.grc.nasa.gov/beginners-guide-to-aeronautics/airplane-parts-function/

انسان بر لبه انقراض

انسان بر لبه انقراض

نوع انسان تقریبا 1 میلیون سال پیش بر لبه انقراض قرار گرفت، پدیده ای که دلیل آن هنوز روشن نیست.

پژوهشی که در سال 2023 منتشر شد (نشریه ساینس) نشان می دهد که نوع انسان تقریبا 1 میلیون سال پیش به سوی انقراض رفت. این انقراض جمعی بالقوه با تحلیل داده های ژنتیکی 3145 انسان مدرن انجام شده است. پژوهشگران بر این باورند که جمعیت انسان در دوره ای پیش از تاریخ به 1200 نفر کاهش یافت.

زمانی بین 930 هزار تا 813 هزار سال پیش نوع انسان در اثر تغییرات اقلیمی بسرعت بسوی انقراض پیش رفت به طوری که حدود 98.7 درصد انشانها در تمامی سکونت گاههای کره زمین از میان رفتند.

دانشمندان در این اندیشه هستند که وقتی دنیای مسکون به میانه دوره پلیستوسین وارد شد، کره زمین بشدت سرد گردید. طولانی شدن این دوره یخبندان همراه با خشکسالی و قحطی گسترده، به ترکیب عواملی منجر شد که نتیجه آن انقراض جمعی نوع انسان بود.

این شرایط منجر به شکل گیری اجتماعات کوچکتر و منزوی انسانی شد که برای تسخیر منابع با هم رقابت می کردند. شوربختانه فسیل های این دوران بسیار اندک و پراکنده هستند و اطلاعات اندکی درباره دلایل و شیوه انقراض انسان در اختیار ما قرار می دهند.

اما مدتی پس از بهبود شرایط محیطی، انسان ها شروع به بالیدن و گسترده تر شدن نمودند و تعداد نسبی آنها افزایش یافت. دلایل این پدیده ها هر چه باشد، ما انسانهای مدرن وجود خود را مدیون تعداد اندکی از نیاکان شجاعمان هستیم که سخت ترین شرایط محیطی را تحمل کرده و به زندگی خود ادامه دادند.

 

جمعیت انسان از ده هزار سال پیش تاکنون - منبع:

 https://www.researchgate.net/figure/Estimated-human-population-growth-from-10-000-BC-until-year-2050-Population-grew-from_fig2_313251383

Source:

https://www.msn.com/en-us/news/technology/humans-nearly-went-extinct-1-million-years-ago-but-we-dont-know-why/ar-AA1GhcD2

ساخت بزرگترین هواپیمای حامل پهباد توسط چین

چین آماده است تا بزرگترین هواپیمای حامل پهباد را تا انتهای ژوئن سال جاری بکار گیرد. این هواپیما که "کشتی مادر حامل پهباد" (drone mothership) نام گرفته است، می تواند تا 100 هواپیمای بدون سرنشین کوچکتر را که مجموعه 6 تن وزن دارد تا فاصله 7000 کیلومتری حمل کند.

این هواپیمای مادر می تواند پهبادهای انتحاری را در تعداد بالا بسوی هدف گسیل کند. پهبادهای انتحاری تا زمانی به پرواز ادامه می‌دهند که هدف خود را یافته و ضمن رهگیری بر روی آن فرود آیند. بدین ترتیب هدف دشمن توسط ده ها پهباد انتحاری مجهز به ماده منفجره تحت هجوم قرار می گیرد.

روسیه در نبرد خود با اوکراین استفاده وسیعی از پهبادهای انتحاری کرده است. پاسخ تدافعی اوکراین استفاده از سیستم های دفاع ضدهوایی پیشرفته غربی و نیز ساختن فنس های فولادی به دور اهداف بالقوه بوده تا پهبادها را متوقف سازند.

توپ خودکار ضدهوایی گپارد (Gepard) ساخت آلمان بطور وسیعی توسط ارتش اوکراین برای ساقط کردن پهبادهای مهاجم مورد استفاده قرار گرفته است.

پهبادهای منفرد اغلب کارایی چندانی ندارند. در حالیکه هجوم انبوه آنها می تواند سیستم های دفاع ضدهوایی را دچار اختلال کرده و از آنها بگذرند.

منبع:

https://www.livescience.com/technology/engineering/china-has-developed-the-largest-drone-carrier-in-the-world-and-its-getting-ready-for-takeoff