اعداد کامل

ریاضیات علمی است پر از شگفتی. یونانیان باستان معتقد به وجود خواص جادویی و رموز نهفته در برخی اعداد و دنباله‌های عددی بودند. آنچه آنان با به این فکر انداخته بود، نظم و پیوستگی حیرت ‌انگیزی است که در جای جای ریاضیات به چشم می خورد. در این مقاله با اعداد کامل  آشنا می‌شویم.

یک عدد کامل (perfect number) عددی است که با مجموع مقسوم علیه‌های خود (بغیر از خود عدد) برابر می باشد. کوچکترین عدد کامل عبارت است از ٦، زیر داریم:

6 = 1 + 2 + 3

اعداد کامل بعدی عبارتند از:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

اولین بار اقلیدس در کتاب خود با نام عناصر (Elements) که حدود ٣٠٠ قبل از میلاد نوشته شده بود، به مفهوم عدد کامل اشاره کرد.

اقلیدس این قضیه جالب را نیز در مورد اعداد کامل بیان کرده است:

اگر برای K>1، 2^k-1 یک عدد اول باشد، آنگاه 2^k-1(2^k-1) یک عد کامل است.

به عنوان مثال 2³-1=7 یک عدد اول است، بنابراین 2^3-1(2³-1)=4*7=28 باید یک عد کامل باشد که صحیح است.

همچنین 2⁵-1=32-1=31 نیز یک عدد اول است. بنابراین 2^5-1(2⁵-1)=16*31=496 نیز باید عددی کامل باشد که باز هم صحیح است.

 چند عدد کامل بعدی عبارتند از:

33550336

8589869056

137438691328

2305843008139952128

برای مطالعه خواص ریاضی جالب این اعداد،‌ به منابع زیر مراجعه کنید:

Perfect Number, http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html

Perfect numbers, http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Perfect_numbers.html