عدد شگفت انگیز

ریاضیات قلمرو زیبایی های بی مانند است. برخی اعداد در ریاضیات ویژگی هایی بسیار شگفت انگیز دارند. در این مقاله یکی از این اعداد جالب را معرفی می کنیم.

دو عدد 37 و 91 یک شباهت ساده دارند: مجموع ارقام هر دو برابر 10 است. اگر این دو عدد را در هم ضرب کنیم به عدد 3367 می رسیم.

حالا دنباله اعداد زیر را در نظر بگیرید:

33, 66, 99, 132, 165, 198,, 231, ...

این اعداد از ارقامی ساخته شده اند که سه واحد بیش از رقم قبلی هستند. البته پس از 99 به عدد 1212 می رسیم که برای آنکه یک عدد سه رقمی شود دو رقم وسطی با هم جمع شده اند. همچنین عدد بعدی 1515 است که به 165 تبدیل می شود.حالا این اعداد را در 3367 ضرب می کنیم:

33 x 3367 = 111111

66 x 3367 = 222222

99 x 3367 = 333333

132x 3367 = 444444

165 x 3367 = 555555

198 x 3367 = 666666

... ... ... ... ...

اعداد اول فرما

یک عدد اول (prime number) عددی صحیح است که تنها بر یک و خودش بخش پذیر باشد. مطالعه اعداد اول بخش مهمی از نظریه اعداد را تشکیل می دهد. اعداد اول آجرهای ساختمانی نظریه اعداد هستند زیرا هر عدد صحیح را می توان به صورت ضرب عاملهای اول نوشت. در نظریه اعداد براحتی ثابت می شود که مجموعه اعداد اول نامتناهی هستند یعنی بزرگترین عدد اول وجود ندارد.

در طول تاریخ تلاشهای فراوانی برای بسط روشهای تشخیص اول بودن اعداد انجام شده است و این موضوع هنوز محل بحث و تحقیق در ریاضیات است.

اعداد فرما که شکل کلی 

دارند برای چند قرن مورد کنکاش قرار گرفته اند. پنج عدد نخست این مجموعه:

همگی اول هستند. فرما در قرن شانزدهم ادعا کرد که تمامی اعداد فرما اول هستند. این یکی از اشتباهات معدود ولی بزرگ فرما بود. برای n = 5 به یک عدد مرکب بر می خوریم:

برخی اعداد اول بسیار بزرگ از فرمول بالا بدست می آیند. ماند عدد غول آسای اسکات:

---

تدریس خصوصی ریاضیات دبیرستان و دانشگاه توسط مدرس مجرب با سابقه بیش از بیست سال تدریس دروس مختلف ریاضی - شماره تماس [phone]   (ناصری)

زندگانی و دستاوردهای علمی پروفسور مریم میرزاخانی

زندگانی و دستاوردهای علمی پروفسور مریم میرزاخانی

پرفسور مریم میرزاخانی، یکی از بزرگترین دانشمندان علوم ریاضی دنیا در 24 تیرماه 1396 بر اثر بیماری پیشرفته سرطان درگذشت. او اولین زنی بود که به دریافت جایزه مدال فیلدز در سال 2014 نایل شد. این جایزه معادل نوبل ریاضیات و یکی از معتبرترین جوایز دنیای علوم است.

مریم میرزاخانی هنگامی که یک نوجوان بود دو بار در سالهای 1994 و 1995 موفق به دریافت مدال طلای مسابقات جهانی المپیاد ریاضی گردید. در 1999 با درجه کارشناسی از دانشگاه صنعتی شریف فارغ التحصیل گردید و پنج سال بعد دکترای خود را از دانشگاه هاروارد برای پایان نامه خود "ژئودزیک‌های ساده بر سطوح هایپربولیکی و حجم فضای ماژولی منحنی‌ها" دریافت کرد. در سال 2008 او مقام استادی دانشگاه استانفورد را بدست آورد.

میرزاخانی بر مطالعه سطوح هایپربولیکی با استفاده از فضاهای ماژولی آنها متمرکز بود. در فضاهای هایپربولیکی برخلاف فضای اقلیدسی ساده، اصل پنجم اقلیدس حاکم نیست. مطابق اصل پنجم اقلیدس، از یک نقطه تنها می توان یک و فقط یک خط موازی خط معینی رسم کرد. در فضای هایپربولیکی نااقلیدسی، از یک نقطه ثابت می‌توان بی نهایت خط موازی یک خط مفروض دیگر رسم کرد. مجموع زوایای یک مثلث در فضای هایپربولیکی کمتر از 180 درجه است. در چنین فضای انحناداری، کوتاهترین مسیر بین دو نقطه را ژئودزیک می نامند. برای مثال بر روی یک کره، ژئودزیک یک دایره بزرگ است. مطالعات میرزاخانی شامل محاسبه تعداد ممکن یک نوع خاص ژئودزیک به نام ژئودزیک ساده در فضاهای هایپربولیکی بود.

فن بکار رفته توسط او مشتمل بر ملاحظه فضاهای ماژولی سطوح بود. در این حالت فضای ماژولی مجموعه ای از فضاهای ریمانی است که دارای ویژگی معینی هستند. میرزاخانی چنین یافته بود که یکی از خواص فضای ماژولی به تعداد ژئودزیک‌های بسته ساده یک سطح هایپربولیکی مربوط می شود.

بی شک درگذشت زودهنگام این دانشمند بزرگ ضایعه بزرگی برای جامعه علمی دنیاست. به بیان شاعر:

از نگاه دو چشم یک تن کم    وز نگاه خرد هزاران بیش

منبع: دایره المعارف بریتانیکا، 2017-15-7

مسایلی برای دانش آموزان علاقمند به ریاضی

مسایلی برای دانش آموزان علاقمند به ریاضی

مناسب برای کلاسهای دهم و یازدهم

انتخاب و حل: اصغر ناصری ([e-mail])

یکی از نقاط ضعف بزرگ کتابهای درسی ریاضی نظام جدید از همان ابتدای اجرای این نظام آموزشی، تعداد اندک تمرینها و مثالهای ارائه شده در پایان هر فصل بوده است که دانش آموز علاقمند به دانستن بیشتر را همواره تشنه نگاه می دارد. این فقدان به مرور زمان و با ورود افراد بی تجربه در هیات تالیف کتابهای درسی بزرگتر و پررنگتر شده است. کتابهای کمک درسی پرشمار و رنگارنگ موجود در بازار نیز بیشتر این دانش‌آموزان مشتاق را در انبوهی از مسایل تکراری و مشابه سردرگم می‌کنند. در این نوشتار که ادامه خواهد یافت، مسایلی از منابع خوب قدیمی مانند کتابهای تالیفی استاد فقید ریاضی دکتر پرویز شهریاری همراه با حل ارائه می‌گردد. لازم به ذکر است که در کتابهای درسی نظام جدید برخی واژگان مجعول از قبیل دنباله عددی و هندسی جایگزین واژگان پرمعنا و مفیدی چون تصاعد حسابی و هندسی شده است که دلیل این کار همچون بسیاری تصمیمات نابخردانه دیگر نویسندگان کتابهای درسی بر صاحبنظران معلوم نیست.

دانلود سری اول مسایل جالب ریاضی برای دانش آموزان علاقمند

از کانال موزه علم و دانش بازدید فرمایید:

مساله نیکوماک

رشته اعداد فرد راکه از واحد شروع شده اند به گروههایی تقسیم کرده ایم بطوری که تعداد جملات در گروههای متوالی، رشته اعداد طبیعی را تشکیل دهند. ثابت کنید مجموع اعداد هر گروه برابر است با مکعب تعداد جملات آن.

حل (از اصغر ناصری):

منظور گروههای زیر از اعداد فرد هستند:

(1)  (3, 5)  (7, 9 11)  (13, 15, 17, 19)  …

ابتدا یک فرمول استقرایی برای اولین عدد هر گروه می سازیم. این فرمول می تواند بصورت زیر باشد:

a_n = n² – n + 1

برای مثال اولین عدد گروه چهارم برابر است با:

a₄ = 4² – 4 + 1 = 13

بنابراین عدد اول گروه m ام برابر است با:

a_m = m² – m + 1

گروه m ام یک تصاعد حسابی با جمله اول m² – m + 1 و تعداد جملات m و قدر نسبت 2 است. بنابراین مجموع جملات آن برابر است با:

S_m = (m / 2) [ 2 a₁ + (m - 1) d ] = (m / 2) [ 2 (m² – m + 1) + (m – 1) (2)] =  (m / 2) (2 m²) = m³

این مساله ریاضی جالب به عنوان مساله نیکوماک معروف است. متاسفانه نسخه ای از این مساله به عنوان یک تست در کنکور سراسری تجربی سال 1394 مطرح شده است که به نظر بنده مناسب طرح به عنوان تست چهارگزینه ای نیست.