اعداد کامل

تالیف: اصغر ناصری 

ریاضیات علمی است پر از شگفتی. یونانیان باستان معتقد به وجود خواص جادویی و رموز نهفته در برخی اعداد و دنباله‌های عددی بودند. آنچه آنان با به این فکر انداخته بود، نظم و پیوستگی حیرت ‌انگیزی است که در جای جای ریاضیات به چشم می خورد. در این مقاله با اعداد کامل  آشنا می‌شویم. 

یک عدد کامل (perfect number) عددی است که با مجموع مقسوم علیه‌های خود (به غیر از خود عدد) برابر می باشد. کوچکترین عدد کامل عبارت است از ٦، زیر داریم: 

6 = 1 + 2 + 3

اعداد کامل بعدی عبارتند از:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 

اولین بار اقلیدس در کتاب خود به نام اصول به این اعداد اشاره کرده است. اقلیدس این قضیه جالب را نیز در مورد اعداد کامل بیان کرده است: 

اگر برای K>1 عدد 2^k-1 اول باشد، آنگاه 2^k-1(2^k-1) یک عد کامل است. 

به عنوان مثال 2³-1=7 یک عدد اول است، بنابراین 2^3-1(2³-1)=4*7=28 باید یک عد کامل باشد که صحیح است. 

همچنین 2⁵-1=32-1=31 نیز یک عدد اول است. بنابراین 2^5-1(2⁵-1)=16*31=496 نیز باید عددی کامل باشد که باز هم صحیح است. 

 چند عدد کامل بعدی عبارتند از: 

33550336 

8589869056 

137438691328 

2305843008139952128 

چند خاصیت جالب دیگر اعداد کامل 

رابطه بین اعداد کامل و اعداد مثلثی - تمام اعداد کامل بزرگتر از 6 شکل زیر را دارند: 

که T_n یک عدد مثلثی به شکل زیر است: 

 

اعداد مثلثی اعدادی هستند که می توان آنها را به شکل آرایه‌های مثلثی نشان داد. شکل زیر دنباله اعداد مثلثی را نشان می دهد: 

 

به عنوان مثال 28 یک عدد کامل است که می توان آن را به شکل 3*9 + 1 = 28 نوشت. همانطور که می بینید 3 یک عدد مثلثی است. به همین ترتیب 55*9 + 1 = 496 یک عدد کامل است و 55 نیز یک عدد مثلثی به ازای n = 10 است. 

رابطه بین اعداد کامل و اعداد اول مرسین -  به مجموع های زیر دقت کنید: 

که 6 ، 7 ، 31 ، ... اعداد اول مرسین هستند. اعداد اول مرسین، اعداد اولی به شکل زیر هستند:   

  

که n از دنباله اعداد زیر انتخاب می شود: 

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, ...  

مجموع معکوس های مقسوم علیه های هر عدد کامل (خود عدد را نیز به حساب آورید) برابر 2 می شود. مانند: 

 

آیا هیچ عدد کامل فردی وجود دارد؟ 

تاکنون تمامی اعداد کامل شناخته شده زوج بوده اند و هیچ عدد فرد کاملی شناخته نشده است. این بررسی تا عدد 10 به توان 300 که عدد بسیار بزرگی است انجام شده است. لیکن دلیلی برای اثبات اینکه عدد فرد کامل وجود ندارد نیز بدست نیامده است. در وب سایت http://www.oddperfect.org پروژه ای در دست انجام است که هدف آن یافتن یک عدد فرد کامل می باشد. 

برای مطالعه بیشتر درباره این اعداد شگفت انگیز،‌ به منابع زیر مراجعه کنید:  

Perfect Number,  http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html

Perfect numbers,  

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Perfect_numbers.html

آیا هیچ عدد کامل فردی وجود دارد؟

یک عدد کامل عددی است که برابر با مجموع مقسوم علیه‌های خود (به غیر از خود عدد) می باشد. مانند:

6= 1 + 2 + 3 

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 

اقلیدس در کتاب اصول خود روشی برای ساختن اعداد کامل پیشنهاد کرده است. تاکنون تمامی اعداد کامل شناخته شده زوج بوده اند و هیچ عدد فرد کاملی شناخته نشده است. این بررسی تا عدد 10 به توان 300 که عدد بسیار بزرگی است انجام شده است. لیکن دلیلی برای اثبات اینکه عدد فرد کامل وجود ندارد نیز بدست نیامده است. در وب سایت http://www.oddperfect.org پروژه ای در دست انجام است که هدف آن یافتن یک عدد فرد کامل می باشد. برای اطلاعات بیشتر به آدرس زیر مراجعه کنید: 

http://mathworld.wolfram.com/OddPerfectNumber.html

تالیف: اصغر ناصری 

در پاسخ به کامنتی از سوی دوست عزیز فرید اسکندری 

اجسام افلاطونی

اجسام افلاطونی (Platonic Solids) به یک چند وجهی محدب گفته می‌شود که از وجوهی یکسان تشکیل شده است. وجوه یک چنین جسمی، چند ضلعی های متجانس و یکسان هستند و هر راس بین تعداد یکسانی از وجوه مشترک است. تمامی اضلاع یک جسم افلاطونی و تمامی زوایای آن مساوی هستند.... 

دانلود متن کامل مقاله (PDF 245 KB)

اثبات فرمول کاردانو بری حل معادله درجه سوم

در این مقاله روشی برای استخراج فرمول کاردانو بری حل معادله درجه سوم ارائه می شود. لازم به ذکر است که این فرمول دارای روشهای اثبات متعددی است. 

یک معادله درجه سوم چند جمله‌ای در حالت کلی به صورت زیر است: 

 

برای حل این معادله ابتدا تغییر متغیر زیر را اعمال می‌کنیم تا ضریب درجه دوم معادله حذف شود: 

 

که بدست می آید: 

 

 

 

همانطور که می بینید ضریب درجه دوم حذف شده و معادله به صورت کلی زیر در می‌آید: 

 

برای حل این معادله فرض می‌کنیم جواب بصورت X = a + b باشد: 

 

 

در نتیجه می توان تساوی های زیر را نتیجه گرفت: 

 

یا: 

 

در نتیجه a³ و b³ ریشه های معادله درجه دوم زیر هستند: 

که دلتای آن به صورت زیر است: 

 

 و جوابهای آن نیز بصورت زیر محاسبه می شود: 

 

یکی از این دو جواب برابر a^۳ و دیگری برابر b^۳ است. بنابراین X = a + b و یا: 

 

عبارت زیر رادیکال با فرجه 2 مبین معادله درجه سوم نامیده شده و شرط وجود جواب این معادله را تعیین می کند. 

اثبات از : اصغر ناصری

برنامه تولید اعداد اول

در اینترنت نمونه های زیادی از برنامه های کامپیوتری تولید کننده اعداد اول می توان یافت. کدنویس های جدید معمولا این برنامه ها را به زبان C می نویسند. اگر حوصله برنامه نویسی یا اجرای کدهای آماده در کامپایلر C را ندارید، می توانید به سایت های زیر مراجعه کنید که برنامه های آنلاین برای تولید اعداد اول را در اختیار شما می گذارند: 

1. Print Prime Numbers 

http://www.rsok.com/~jrm/printprimes.html 

با ورود دو عدد پایینی و بالایی، این بنامه آنلاین اعداد اول بین آن دو را فهرست می کند. بزرگترین عددی که می توانید وارد کنید 100000 می باشد. به عنوان مثال اعداد اول بین 9900 و 10000 عبارتند از: 

9901
9907
9923
9929
9931
9941
9949
9967
9973
 

2. Prime Numbers Generator and Checker  

http://www.numberempire.com/primenumbers.php

با وارد کردن یک عدد دلخواه می توانید چک کنید آیا این عدد اول است یا نه. همچنین می توانید نزدیکترین عدد اول کوچکتر و بزرگتر از آن را پیدا کنید. 

به عنوان مثال با استفاده از این برنامه آنلاین می توان دریافت که 1256347 یک عدد اول است. همچنین نخستین عدد اول پس از پنجاه میلیون، 50000017 می‌باشد. 

قدرت این برنامه آنلاین در کار با اعداد بزرگ بی مانند است.